Calcule os seguintes limites no caso de existirem, e se não existirem justifique também.
lim (x, y) (0,0) e^2 x-(y+1)x+y

Passo 1

O exercício pede para calcular
lim(x,y)to(0,0) e^2x - (y+1)x+y. Isso envolve limites em várias variáveis e a ideia de que, se o valor depender do caminho de aproximação, o limite não existe.

Passo 2

Vamos usar a expansão de Taylor em torno de (0,0) para e^2x. Sabendo que e^2x = 1 + 2x + 2x^2 + O(x^3), o numerador fica
e^2x - (y+1) = (1 + 2x + O(x^2)) - 1 - y = 2x - y + O(x^2)
Assim, para pontos próximos de (0,0),
e^2x - (y+1)x+y approx 2x - yx + y

Passo 3

Agora testamos aproximações ao longo de retas y = m x. Substituindo,
2x - yx + y = 2x - m xx + m x = 2 - m1 + m
Esse valor depende de m. Por exemplo, para m=0 2 e para m=2 0.

Passo 4

Como o valor do quociente muda conforme a reta y=mx escolhida, o limite não é único. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe, pois varia conforme a direção de aproximação.

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