Calcule os seguintes limites no caso de existirem, e se não existirem justifique também.
Passo 1
O exercício pede para calcular
. Isso envolve limites em várias variáveis e a ideia de que, se o valor depender do caminho de aproximação, o limite não existe.
Passo 2
Vamos usar a expansão de Taylor em torno de
para
. Sabendo que
, o numerador fica
Assim, para pontos próximos de
,
Passo 3
Agora testamos aproximações ao longo de retas
. Substituindo,
Esse valor depende de
. Por exemplo, para
dá
e para
dá
.
Passo 4
Como o valor do quociente muda conforme a reta
escolhida, o limite não é único. Portanto, o limite não existe.
Resposta
O limite não existe, pois varia conforme a direção de aproximação.