Considere a série de potências sumn=0^infty cn x^n. Sabemos que para x=2 a série é convergente, e para x=-4 a série é divergente.
Podemos afirmar se a série sumn=0^infty cn 4^n converge ou diverge? Justifique.

Passo 1

O exercício pede para decidir o que acontece com a série sumn=0^infty cn4^n sabendo que a mesma potência converge em x=2 e diverge em x=-4. O conteúdo principal aqui é o raio de convergência de séries de potências e o comportamento nos pontos internos e na fronteira.

Passo 2

Para toda série de potências sum cn x^n existe um raio de convergência R tal que:
  • ela converge para todo |x|,
  • diverge para todo |x|>R,
  • e para |x|=R pode tanto convergir quanto divergir dependendo dos coeficientes.

Passo 3

Como a série converge em x=2, temos
|2|=2
Como a série diverge em x=-4, temos
|-4|>Rimplies R<=4

Passo 4

Portanto o raio de convergência satisfaz
2<= R<=4
Para x=4 temos
- se R<4, então |4|>R e a série diverge;
- se R=4, então estamos num ponto da fronteira e a série pode tanto convergir (caso particular dos coeficientes) quanto divergir.

Passo 5

Logo, com as informações dadas não é possível afirmar de modo definitivo se sum cn4^n converge ou diverge. Dependendo dos coeficientes ela pode convergir ou divergir.

Passo 6

Um par de exemplos para ilustrar:
  1. Tome cn=1/3^n. Então R=3, converge em x=2, diverge em x=-4 e diverge em x=4.
  2. Tome cn=(-1)^n/(4^nraiz n). Então R=4, converge em x=2, diverge em x=-4 e converge (condicionalmente) em x=4.

Resposta

Não é possível determinar — a série em x=4 pode convergir ou divergir dependendo dos coeficientes.

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