Considere a série de potências
. Sabemos que para
a série é convergente, e para
a série é divergente.
Podemos afirmar se a série
converge ou diverge? Justifique.
Podemos afirmar se a série
Passo 1
O exercício pede para decidir o que acontece com a série
sabendo que a mesma potência converge em
e diverge em
. O conteúdo principal aqui é o raio de convergência de séries de potências e o comportamento nos pontos internos e na fronteira.
Passo 2
Para toda série de potências
existe um raio de convergência
tal que:
- ela converge para todo
, - diverge para todo
, - e para
pode tanto convergir quanto divergir dependendo dos coeficientes.
Passo 3
Como a série converge em
, temos
Como a série diverge em
Passo 4
Portanto o raio de convergência satisfaz
Para
- se
- se
Passo 5
Logo, com as informações dadas não é possível afirmar de modo definitivo se
converge ou diverge. Dependendo dos coeficientes ela pode convergir ou divergir.
Passo 6
Um par de exemplos para ilustrar:
- Tome
. Então , converge em , diverge em e diverge em . - Tome
. Então , converge em , diverge em e converge (condicionalmente) em .
Resposta
Não é possível determinar — a série em
pode convergir ou divergir dependendo dos coeficientes.