Calcule os seguintes limites, começando por identificar, caso exista, o tipo de indeterminação.
lim x +infty sin (4 x)x^2+2 x-10

Passo 1

O limite dado é limxto+infty sin(4x)x^2+2x-10. O conteúdo aqui envolve limites de funções oscilantes sobre polinômios no infinito. Vamos precisar da desigualdade -1<=sin(4x)<=1 e do Teorema do Confronto.

Passo 2

Primeiro, note que x^2+2x-10 cresce sem limite quando xto+infty, ou seja, limxto+infty(x^2+2x-10)=+infty.
Em seguida, identifique que o numerador está sempre entre -1 e 1. Para x suficientemente grande, o denominador é positivo, então podemos dividir a desigualdade por ele e manter a ordem:
-1x^2+2x-10 <= sin(4x)x^2+2x-10 <= 1x^2+2x-10

Passo 3

Agora aplique o Teorema do Confronto. Como
limxto+infty (-1x^2+2x-10)=0 e limxto+infty 1x^2+2x-10=0,
então pelo confronto
limxto+infty sin(4x)x^2+2x-10=0

Resposta

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