Calcule os seguintes limites, começando por identificar, caso exista, o tipo de indeterminação.
lim x +infty(raiz2 x+3-raizx-1)

Passo 1

Nesse problema temos que calcular o limite limxto+inftyl(raiz2x+3-raizx-1r). O tema aqui é limite no infinito de diferença de radicais, e vamos precisar usar o truque do conjugado para eliminar a indeterminação.

Passo 2

Ao substituir xto+infty vemos que raiz2x+3to+infty e raizx-1to+infty. Isso nos dá uma indeterminação do tipo infty - infty.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada raiz2x+3+raizx-1. Calculamos:
[
(\sqrt{2x+3}-\sqrt{x-1})\nobreak=\nobreak\frac{(\sqrt{2x+3}-\sqrt{x-1})(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-1})}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-1}}
=\frac{(2x+3)-(x-1)}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-1}}
=\frac{x+4}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-1}}

Passo 4

Agora, para estudar o comportamento quando xto+infty, fatoramos x no numerador e raizx no denominador:
[
\frac{x+4}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-1}}
=\frac{x\bigl(1+4/x\bigr)}{\sqrt{x}\bigl(\sqrt{2+3/x}+\sqrt{1-1/x}\bigr)}
=\sqrt{x},\frac{1+4/x}{\sqrt{2+3/x}+\sqrt{1-1/x}}

Passo 5

Quando xto+infty temos 1+4/xto1 e raiz2+3/x+raiz1-1/xtoraiz2+1. Como raizxto+infty, o quociente vai crescer sem limite.

Passo 6

Portanto o limite é infinito positivo.

Resposta

+\infty

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