Calcule os seguintes limites, começando por identificar, caso exista, o tipo de indeterminação.
Passo 1
Nesse problema temos que calcular o limite
. O tema aqui é limite no infinito de diferença de radicais, e vamos precisar usar o truque do conjugado para eliminar a indeterminação.
Passo 2
Ao substituir
vemos que
e
. Isso nos dá uma indeterminação do tipo
.
Passo 3
Para resolver essa indeterminação, multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada
. Calculamos:
[
(\sqrt{2x+3}-\sqrt{x-1})\nobreak=\nobreak\frac{(\sqrt{2x+3}-\sqrt{x-1})(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-1})}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-1}}
=\frac{(2x+3)-(x-1)}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-1}}
=\frac{x+4}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-1}}
(\sqrt{2x+3}-\sqrt{x-1})\nobreak=\nobreak\frac{(\sqrt{2x+3}-\sqrt{x-1})(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-1})}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-1}}
=\frac{(2x+3)-(x-1)}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-1}}
=\frac{x+4}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-1}}
Passo 4
Agora, para estudar o comportamento quando
, fatoramos
no numerador e
no denominador:
[
\frac{x+4}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-1}}
=\frac{x\bigl(1+4/x\bigr)}{\sqrt{x}\bigl(\sqrt{2+3/x}+\sqrt{1-1/x}\bigr)}
=\sqrt{x},\frac{1+4/x}{\sqrt{2+3/x}+\sqrt{1-1/x}}
\frac{x+4}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-1}}
=\frac{x\bigl(1+4/x\bigr)}{\sqrt{x}\bigl(\sqrt{2+3/x}+\sqrt{1-1/x}\bigr)}
=\sqrt{x},\frac{1+4/x}{\sqrt{2+3/x}+\sqrt{1-1/x}}
Passo 5
Quando
temos
e
. Como
, o quociente vai crescer sem limite.
Passo 6
Portanto o limite é infinito positivo.
Resposta
+\infty