Calcule os seguintes limites, começando por identificar, caso exista, o tipo de indeterminação.
lim x -1 x^3+3 x^2+3 x+1x^3+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto-1dfracx^3+3x^2+3x+1x^3+1. O conteúdo é cálculo de limites e identificação de indeterminações, e vamos precisar usar fatoração para eliminar o 0/0.

Passo 2

Ao substituir x=-1 diretamente na expressão, o numerador fica (-1)^3+3(-1)^2+3(-1)+1 = -1+3-3+1 = 0 e o denominador fica (-1)^3+1 = -1+1 = 0. Portanto há indeterminação do tipo 0/0.

Passo 3

Para remover essa indeterminação, fatoramos numerador e denominador:
x^3+3x^2+3x+1 = (x+1)^3,
x^3+1 = (x+1)(x^2 - x + 1)

Passo 4

Assim podemos simplificar:
x^3+3x^2+3x+1x^3+1 = (x+1)^3(x+1)(x^2 - x + 1) = (x+1)^2x^2 - x + 1

Passo 5

Agora basta avaliar o limite da forma simplificada quando xto -1: substituindo x=-1 em (x+1)^2/(x^2 - x + 1) obtemos o numerador ((-1)+1)^2 = 0 e o denominador ((-1)^2 -(-1) + 1) = 1+1+1 = 3.

Resposta

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