Calcule os seguintes limites, começando por identificar, caso exista, o tipo de indeterminação.
lim x 2^-(5x^2-4-3x-2)

Passo 1

O enunciado quer o limite limx to 2^-l(5x^2-4-3x-2r)
do tipo de indeterminação e seu valor. O conteúdo é cálculo de limites de expressões racionais que geram ∞−∞, e vamos precisar usar análise de indeterminação, manipulação algébrica (colocar sobre denominador comum) e estudo de sinal.

Passo 2

Para ver o tipo de indeterminação, observamos cada parcela separadamente quando x se aproxima de 2 pela esquerda. Como x^2−4=(x−2)(x+2) tende a 0 negativo e x−2 tende a 0 negativo, temos
5x^2-4to -infty
e
3x-2to -infty
Logo a expressão é do tipo ∞−∞, que é indeterminado.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação, escrevemos na mesma fração. Primeiro, note que
5x^2-4-3x-2 = 5(x-2)(x+2) - 3x-2
Colocando sobre o denominador comum (x−2)(x+2), obtemos
5 - 3(x+2)(x-2)(x+2) = 5 - 3x - 6(x-2)(x+2) = -3x -1(x-2)(x+2)

Passo 4

Para achar o limite, analisamos o sinal do numerador e do denominador quando x→2^-. O numerador tende a -3·2 -1 = -7 (negativo). O denominador (x-2)(x+2) tende a (0^-)·4 = 0^- (negativo).
Como temos um número negativo dividido por um número que se aproxima de 0 pelo lado negativo, o quociente tende a +∞.

Passo 5

Portanto, o limite diverge para mais infinito.

Resposta

O limite vale +∞.

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