Calcule os seguintes limites, começando por identificar, caso exista, o tipo de indeterminação.
Passo 1
O enunciado quer o limite
do tipo de indeterminação e seu valor. O conteúdo é cálculo de limites de expressões racionais que geram ∞−∞, e vamos precisar usar análise de indeterminação, manipulação algébrica (colocar sobre denominador comum) e estudo de sinal.
Passo 2
Para ver o tipo de indeterminação, observamos cada parcela separadamente quando x se aproxima de 2 pela esquerda. Como x^2−4=(x−2)(x+2) tende a 0 negativo e x−2 tende a 0 negativo, temos
e
Logo a expressão é do tipo ∞−∞, que é indeterminado.
Passo 3
Para eliminar a indeterminação, escrevemos na mesma fração. Primeiro, note que
Colocando sobre o denominador comum (x−2)(x+2), obtemos
Passo 4
Para achar o limite, analisamos o sinal do numerador e do denominador quando x→2^-. O numerador tende a -3·2 -1 = -7 (negativo). O denominador (x-2)(x+2) tende a (0^-)·4 = 0^- (negativo).
Como temos um número negativo dividido por um número que se aproxima de 0 pelo lado negativo, o quociente tende a +∞.
Como temos um número negativo dividido por um número que se aproxima de 0 pelo lado negativo, o quociente tende a +∞.
Passo 5
Portanto, o limite diverge para mais infinito.
Resposta
O limite vale +∞.