Calcule os seguintes limites:
lim (x, y) (1,1)(x y+x^2 y^3-2 xx^3+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de duas variáveis
f(x,y)=xy + x^2y^3 - 2xx^3 + 1 quando (x,y)to(1,1). O conteúdo é limites e continuidade de funções de duas variáveis; vamos usar que soma de funções contínuas e quociente (quando o denominador não zera) é contínuo.

Passo 2

O termo xy é um polinômio em x,y, logo contínuo. Aplicando a definição de continuidade, temos
lim(x,y)to(1,1)xy = 1cdot1 = 1

Passo 3

O quociente x^2y^3 - 2xx^3 + 1 também é contínuo em torno de (1,1) porque o denominador x^3+1 não anula em x=1. Substituindo diretamente:
O numerador em (1,1) é
1^2cdot1^3 - 2cdot1 = 1 - 2 = -1,
o denominador é
1^3 + 1 = 2
Logo o quociente tende a
-tfrac12

Passo 4

Finalmente, somando os dois limites parciais, obtemos
1 + l(-tfrac12r) = tfrac12

Resposta

\tfrac12

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