Calcule os seguintes limites, começando por identificar, caso exista, o tipo de indeterminação.
lim x 0 x^2+3 xraiz3 x+2-raizx+2

Passo 1

No enunciado temos o limite limxto0x^2+3xraiz3x+2-raizx+2. O conteúdo é cálculo de limites e vamos usar a técnica de racionalização de denominador para lidar com indeterminações.

Passo 2

Ao substituir x=0 direto, o numerador vira 0^2+3cdot0=0 e o denominador fica raiz2-raiz2=0. Logo aparece a forma indeterminada 0/0, e por isso precisamos racionalizar.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, isto é, raiz3x+2+raizx+2:
x^2+3xraiz3x+2-raizx+2cdot raiz3x+2+raizx+2raiz3x+2+raizx+2 = (x^2+3x)(raiz3x+2+raizx+2)(3x+2)-(x+2)

Passo 4

No denominador temos diferença de quadrados: (3x+2)-(x+2)=2x. Logo:
(x^2+3x)(raiz3x+2+raizx+2)2x = x(x+3)(raiz3x+2+raizx+2)2x = (x+3)(raiz3x+2+raizx+2)2
Agora basta fazer xto0 nessa expressão.

Passo 5

Substituindo x=0 fica
(0+3)(raiz2+raiz2)2 = 3cdot2raiz22 =3raiz2

Resposta

3raiz2

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