Calcule os seguintes limites, começando por identificar, caso exista, o tipo de indeterminação.
lim x infty 2 x-1raizx^2+2+raizx^2+1

Passo 1

Estamos lidando com o limite de uma função envolvendo um polinômio no numerador e somas de raízes quadradas no denominador quando x tende a +∞; o tema é limites com indeterminação ∞/∞ e vamos precisar usar a ideia de dividir pelo maior grau de x para simplificar.

Passo 2

Ao tentar x→+∞ temos numerador 2x−1→+∞ e denominador √(x²+2)+√(x²+1)→+∞+∞, ou seja, indeterminação do tipo ∞/∞. Para resolver, vamos usar a técnica de dividir numerador e denominador por x, que é o maior grau presente.

Passo 3

Dividindo tudo por x:
$$
\frac{2x-1}{\sqrt{x{2}+2}+\sqrt{x{2}+1}} = \frac{x\left(2-\frac{1}{x}\right)}{x\left(\sqrt{1+\frac{2}{x{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{x{2}}}\right)} = \frac{2-\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{x{2}}}}$$
Agora aplicamos o limite x→+∞ em cada parte:
- 2x-1raizx^2+2+raizx^2+1 = x(2-1x)x(raiz1+2x^2+raiz1+1x^2) = 2-1xraiz1+2x^2+raiz1+1x^2 tende a 2
- 2-tfrac1x tende a 1
- raiz1+tfrac2x^2 tende a 1
Portanto o denominador tende a 1+1=2.

Passo 4

Com isso o limite fica tfrac22=1.

Resposta

1

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