Calcule os seguintes limites, começando por identificar, caso exista, o tipo de indeterminação.
Passo 1
Estamos lidando com o limite de uma função envolvendo um polinômio no numerador e somas de raízes quadradas no denominador quando x tende a +∞; o tema é limites com indeterminação ∞/∞ e vamos precisar usar a ideia de dividir pelo maior grau de x para simplificar.
Passo 2
Ao tentar x→+∞ temos numerador 2x−1→+∞ e denominador √(x²+2)+√(x²+1)→+∞+∞, ou seja, indeterminação do tipo ∞/∞. Para resolver, vamos usar a técnica de dividir numerador e denominador por x, que é o maior grau presente.
Passo 3
Dividindo tudo por x:
$$
\frac{2x-1}{\sqrt{x{2}+2}+\sqrt{x{2}+1}} = \frac{x\left(2-\frac{1}{x}\right)}{x\left(\sqrt{1+\frac{2}{x{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{x{2}}}\right)} = \frac{2-\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{x{2}}}}$$
Agora aplicamos o limite x→+∞ em cada parte:
- tende a 2
- tende a 1
- tende a 1
Portanto o denominador tende a 1+1=2.
Agora aplicamos o limite x→+∞ em cada parte:
-
-
-
Portanto o denominador tende a 1+1=2.
Passo 4
Com isso o limite fica
.
Resposta
1