Considere a função dada por
.
Determine a equação e o esboço das curvas de nível para
e
(coloque a escala).
Determine a equação e o esboço das curvas de nível para
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você precisa fazer aqui! A questão pede para a gente analisar uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} $, e determinar as equações e esboços das curvas de nível para os valores $ k = \frac{1}{3} $, $ k = 1 $ e $ k = 3 $. Vamos precisar entender o conceito de curvas de nível e como encontrá-las para essa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos
onde a função $ f(x, y) $ assume um valor constante $ k $. Ou seja, para cada valor de $ k $, temos uma equação que define essa curva.
Passo 3
Então, para encontrar as curvas de nível da função $ f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} $, vamos igualar a função a $ k $:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para $ x $ e $ y $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ para se livrar do denominador:
Passo 5
Em seguida, dividimos ambos os lados por $ k $:
Passo 6
Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Passo 7
Essa equação representa um círculo centrado na origem
com raio $ r = \frac{1}{k} $. Portanto, para cada valor de $ k $, teremos um círculo diferente.
Passo 8
Vamos agora calcular o raio para cada valor de $ k $:
-
Para $ k = \frac{1}{3} $:
-
Para $ k = 1 $:
-
Para $ k = 3 $:
Passo 9
Com esses raios, podemos escrever as equações das curvas de nível:
-
Para $ k = \frac{1}{3} $:
-
Para $ k = 1 $:
-
Para $ k = 3 $:
Passo 10
Agora, vamos esboçar essas curvas no plano cartesiano. Cada equação representa um círculo com centro na origem e raio correspondente:
- $ k = \frac{1}{3} $: círculo grande com raio 3.
- $ k = 1 $: círculo médio com raio 1.
- $ k = 3 $: círculo pequeno com raio aproximadamente 0,333.

Escala: unidades no eixo x e y estão proporcionais aos raios calculados.
Resposta
As curvas de nível para a função $ f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} $ são círculos centrados na origem com equações:
- Para $ k = \frac{1}{3} $: $ x^{2} + y^{2} = 9 $
- Para $ k = 1 $: $ x^{2} + y^{2} = 1 $
- Para $ k = 3 $: $ x^{2} + y^{2} = \frac{1}{9} $
O esboço dessas curvas consiste em três círculos concêntricos com os respectivos raios.