Considere a função dada por f(x, y)=1raizx^2+y^2.
Determine a equação e o esboço das curvas de nível para k=1 / 3, k=1 e k=3 (coloque a escala).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você precisa fazer aqui! A questão pede para a gente analisar uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} $, e determinar as equações e esboços das curvas de nível para os valores $ k = \frac{1}{3} $, $ k = 1 $ e $ k = 3 $. Vamos precisar entender o conceito de curvas de nível e como encontrá-las para essa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos (x, y) onde a função $ f(x, y) $ assume um valor constante $ k $. Ou seja, para cada valor de $ k $, temos uma equação que define essa curva.

Passo 3

Então, para encontrar as curvas de nível da função $ f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} $, vamos igualar a função a $ k $:
f(x, y) = 1raizx^2 + y^2

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para $ x $ e $ y $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ para se livrar do denominador:
x

Passo 5

Em seguida, dividimos ambos os lados por $ k $:
k

Passo 6

Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados ao quadrado:
x^2 + y^2 = ( 1k )^2

Passo 7

Essa equação representa um círculo centrado na origem (0, 0) com raio $ r = \frac{1}{k} $. Portanto, para cada valor de $ k $, teremos um círculo diferente.

Passo 8

Vamos agora calcular o raio para cada valor de $ k $:
  • Para $ k = \frac{1}{3} $:
    k
  • Para $ k = 1 $:
    k = 13
  • Para $ k = 3 $:
    r = 113 = 3

Passo 9

Com esses raios, podemos escrever as equações das curvas de nível:
  • Para $ k = \frac{1}{3} $:
    k = 13
  • Para $ k = 1 $:
    x^2 + y^2 = 9
  • Para $ k = 3 $:
    k = 1

Passo 10

Agora, vamos esboçar essas curvas no plano cartesiano. Cada equação representa um círculo com centro na origem e raio correspondente:
  • $ k = \frac{1}{3} $: círculo grande com raio 3.
  • $ k = 1 $: círculo médio com raio 1.
  • $ k = 3 $: círculo pequeno com raio aproximadamente 0,333.
Curvas de Nível
Escala: unidades no eixo x e y estão proporcionais aos raios calculados.

Resposta

As curvas de nível para a função $ f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} $ são círculos centrados na origem com equações:
  • Para $ k = \frac{1}{3} $: $ x^{2} + y^{2} = 9 $
  • Para $ k = 1 $: $ x^{2} + y^{2} = 1 $
  • Para $ k = 3 $: $ x^{2} + y^{2} = \frac{1}{9} $
O esboço dessas curvas consiste em três círculos concêntricos com os respectivos raios.

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