Calcule os seguintes limites:
d. \lim _{x \rightarrow \sqrt{2}} \frac{x^{2}-2}{x^{2}+\sqrt{2 x-4}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\sqrt{2}} \frac{x^{2}-2}{x^{2}+\sqrt{2x-4}}.
Informações dadas:
\text{função } f(x)=\frac{x^{2}-2}{x^{2}+\sqrt{2x-4}},\qquad\text{ponto de interesse } x\to\sqrt{2}.çã
A tarefa é encontrar o valor do limite quando x tende a \sqrt{2}.

Passo 2

Verificamos onde a expressão está definida (domínio), porque isso é fundamental para qualquer limite em \mathbb{R}. O termo \sqrt{2x-4} exige que o radicando seja não negativo:
2x-4\ge 0.
Resolvendo essa desigualdade,
2x\ge 4 \quad\Rightarrow\quad x\ge 2.
Portanto, para a função f(x) ser real e bem definida precisamos ter x\ge 2. Conclusão parcial: o domínio real da função é [2,\infty).

Passo 3

Compare o ponto de interesse \sqrt{2} com o domínio que encontramos. Note que
\sqrt{2}\approx 1{,}414\ldots < 2.
Logo \sqrt{2} não pertence ao domínio [2,\infty). Mais ainda: para um limite \lim_{x\to a} f(x) em \mathbb{R} faz sentido precisamos que existam valores de x diferentes de a arbitrariamente próximos de a onde f esteja definida (isto é, a deve ser um ponto de acumulação do domínio).

Passo 4

Mostramos que \sqrt{2} não é ponto de acumulação do domínio [2,\infty). Tome, por exemplo,
\delta=\frac{2-\sqrt{2}}{2}>0.
Então o intervalo aberto (\sqrt{2}-\delta,\sqrt{2}+\delta) está contido em (-\infty,2), portanto não contém nenhum ponto do domínio [2,\infty). Em particular não existe sequência de pontos x_n no domínio com x_n\neq\sqrt{2} e x_n\to\sqrt{2}. Pelo conceito de limite real, se não há pontos do domínio arbitrariamente próximos de a, o limite \lim_{x\to a} f(x) não está definido (não existe) em \mathbb{R}.

Passo 5

Conclusão: a expressão não está definida em nenhum ponto de um entorno (punctured neighborhood) de \sqrt{2}, portanto o limite pedido não existe como limite real. (Observação: se alguém estendesse a função para números complexos, poderia discutir valor complexo do limite, mas aqui trabalhamos em \mathbb{R}.)

Resposta

O limite não existe (a expressão não está definida em nenhum ponto de um entorno de \sqrt{2}).

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