Calcule os seguintes limites :
i. \lim _{x \rightarrow 5} \frac{x+2}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to 5} \frac{x+2}{x-2}.
Informações dadas:
  • A expressão cuja limite queremos é \frac{x+2}{x-2}.
  • O ponto onde nos aproximamos é x=5.
  • Não há figura ou tabela — só essa expressão algébrica.

Passo 2

Vamos entender o que significa esse limite de forma simples: queremos saber qual valor a fração \frac{x+2}{x-2} se aproxima quando x fica cada vez mais perto de 5 (mas não necessariamente igual a 5). Uma regra muito útil que facilita muito na prova é esta: se uma função é dada por uma expressão racional (fração de polinômios) e o denominador no ponto de interesse não é zero, então a função é contínua naquele ponto e o limite é obtido apenas substituindo x pelo ponto. Vou explicar por quê e o que isso quer dizer.
Breve explicação da regra (didática): polinômios (como x+2 e x-2) são funções “tranquilas” — elas não têm saltos nem buracos; são contínuas em todo lugar. Uma razão (fração) de polinômios é contínua em todo ponto em que o denominador não zera. Continuidade em um ponto a significa que
\lim_{x\to a} f(x) = f(a),
ou seja, o limite ao nos aproximarmos de a é simplesmente o valor da função em a. Então, antes de substituir, precisamos verificar se o denominador em x=5 é diferente de zero.

Passo 3

Verificação do denominador em x=5:
x-2 \quad\text{em}\quad x=5 \Rightarrow 5-2=3.
Como 3\neq 0, podemos aplicar a substituição direta para calcular o limite.

Passo 4

Substituindo x=5 na expressão:
\frac{x+2}{x-2}\Bigg|_{x=5}=\frac{5+2}{5-2}=\frac{7}{3}.
Se quiser ver em decimal, \frac{7}{3}=2{,}333\ldots, mas a forma fracionária \frac{7}{3} é mais exata e preferida em provas.

Passo 5

Dica prática para a prova: sempre cheque o denominador no ponto alvo antes de substituir. Se o denominador der zero, aí o caso exige manipulações (fatorar, cancelar, analisar limites laterais, etc.). Se não der zero, substituição direta e fim — rápido e seguro.

Resposta

\dfrac{7}{3}

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