Calcule os seguintes limites pela definição (isto é, usando \epsilon e \delta ). \lim _{x \rightarrow 0} f(x) em que f(x)=\left\{\begin{array}{cl}1 & , x \geq 0 \\\\ -1 & , x<0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para calcular \lim_{x\to 0} f(x)\), onde a função \(f\) é dada por
\[f(x)=\begin{cases} 1, & x\ge 0,\\[4pt] -1, & x<0. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
Para qualquer x>0\] (próximo de zero pela direita) tem-se \(f(x)=1.
Para qualquer x<0 (próximo de zero pela esquerda) tem-se f(x)=-1.
A pergunta é: qual é o valor de \lim_{x\to 0} f(x)? (usar definição com \epsilon e \delta.)]
Passo 2
Vou lembrar a definição formal (com \epsilon e \delta) de limite em x\to 0. Dizemos que
\lim_{x\to 0} f(x)=L
se, e somente se, para todo \epsilon>0 existir \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-0|<\delta, tenha-se |f(x)-L|<\epsilon.
Explicando de maneira leve: \epsilon é o quão perto queremos que f(x) fique do suposto L; \delta é a distância ao redor de 0 que garante isso. Para provar que um limite é um certo número L devemos, dado um \epsilon arbitrário, encontrar um \delta que funciona. Para provar que o limite não existe, convém mostrar que não existe nenhum L que satisfaça essa condição — normalmente produzindo uma contradição com algum \epsilon escolhido.
Passo 3
Primeiro calculemos o limite pela direita (apenas para entender o comportamento à direita):
mostrarei que
\lim_{x\to 0^+} f(x)=1.
Prova por \epsilon-\delta: seja \epsilon>0 dado. Escolha qualquer \delta>0 (por exemplo \delta=1, qualquer valor positivo serve). Se 0<x<\delta então x>0 e, pela definição da função, f(x)=1. Assim
|f(x)-1|=|1-1|=0<\epsilon.
Portanto, para todo \epsilon>0 existe \delta>0 (qualquer \delta>0) que garante |f(x)-1|<\epsilon sempre que 0<x<\delta. Logo \lim_{x\to 0^+} f(x)=1.
Passo 4
Agora o limite pela esquerda:
mostrarei que
\lim_{x\to 0^-} f(x)=-1.
Prova por \epsilon-\delta: seja \epsilon>0 dado. Escolha qualquer \delta>0. Se -\delta<x<0 então x<0 e, pela definição da função, f(x)=-1. Assim
|f(x)-(-1)|=|-1+1|=0<\epsilon.
Portanto \lim_{x\to 0^-} f(x)=-1.
Passo 5
Agora vamos concluir sobre o limite bilateral \lim_{x\to 0} f(x). Uma condição necessária para que o limite bilateral exista é que os limites laterais sejam iguais. Aqui encontramos
que são diferentes. Isso já indica que o limite bilateral não existe. Vou provar a não existência diretamente com um argumento \epsilon-\delta por contradição (é o jeito “formal” pedido).
Suponha, para chegar a uma contradição, que exista L\in\mathbb{R} tal que \lim_{x\to 0} f(x)=L. Tome \epsilon=\tfrac{1}{2}. Pela definição do limite, deveria existir \delta>0 tal que, sempre que 0<|x|<\delta, valesse |f(x)-L|<\tfrac{1}{2}.
Agora escolha dois pontos com 0<|x|<\delta: por exemplo x_1=\delta/2>0 e x_2=-\delta/2<0. Para esses pontos vale:
Como x_1>0, f(x_1)=1, logo |1-L|=|f(x_1)-L|<\tfrac{1}{2}.
Como x_2<0, f(x_2)=-1, logo |-1-L|=|f(x_2)-L|<\tfrac{1}{2}.
o que é uma contradição, pois 2\not<1. Logo não existe nenhum L que satisfaça a definição de limite bilateral em 0.
Passo 6
Conclusão final: os limites laterais existem e são diferentes (\lim_{x\to 0^+} f(x)=1 e \lim_{x\to 0^-} f(x)=-1), e portanto o limite bilateral \lim_{x\to 0} f(x) não existe. A prova formal de não existência foi feita usando \epsilon=\tfrac{1}{2} e mostrando a contradição para qualquer \delta.