Calcule os seguintes limites pela definição (isto é, usando
e
).
Passo 1
O enunciado pede para calcular, usando a definição
–
, o limite
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto de aproximação é
. - Deve-se provar o limite usando a definição formal com
e .
O que exatamente é pedido: encontrar o valor do limite e fornecer uma prova
-
que mostre que, para todo
, existe
tal que
implica
, onde
é o valor do limite.
Passo 2
Lembrete da definição formal (em palavras e em fórmula): dizer que
significa:
- Para todo
escolhido (por quão pequeno que seja), - existe
tal que, sempre que satisfaz , - então
.
Em fórmula:
Explicando:
controla quão perto queremos que
fique de
;
diz quão perto de
precisamos escolher
para garantir isso.
Passo 3
Intuição e candidato para
. Como
é uma função linear, o valor natural para o limite quando
é simplesmente
. Calculando:
Portanto o candidato para o limite é
. Agora vamos provar formalmente que esse
funciona na definição
-
.
Passo 4
Estudar a diferença
para ligar isso a
. Substituindo
e
:
Agora simplificar passo a passo:
logo
Passo 5
Resolver a condição
em função de
. Usando o resultado anterior:
é equivalente a
Isto sugere escolher
igual a
. Observação: como
, temos
, que é válido na definição.
Passo 6
Prova formal
-
.
Seja arbitrário
. Defina
Suponha
satisfazendo
. Então, usando o passo 4,
Portanto, sempre que
segue
. Isso verifica exatamente a definição de limite com
.
Passo 7
Conclusão e observação prática (dica para prova em prova): acabamos de provar que, para todo
, existe
que garante a condição da definição. Assim
.
Observação geral útil: para qualquer função linear
com
, a mesma ideia funciona e pode-se escolher
para provar
. Exemplo rápido:
, e uma prova
-
usaria
.