Calcule os seguintes limites pela definição (isto é, usando \epsilon e \delta ).
\lim _{x \rightarrow 1}(4 x-1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando a definição \epsilon \delta, o limite
\lim_{x\to 1}(4x-1).
Informações dadas:
  • A função é f(x)=4x-1.
  • O ponto de aproximação é x\to 1.
  • Deve-se provar o limite usando a definição formal com \epsilon>0 e \delta>0.
O que exatamente é pedido: encontrar o valor do limite e fornecer uma prova \epsilon- \delta que mostre que, para todo \epsilon>0, existe \delta>0 tal que 0<|x-1|<\delta implica |(4x-1)-L|<\epsilon, onde L é o valor do limite.

Passo 2

Lembrete da definição formal (em palavras e em fórmula): dizer que \lim_{x\to 1}f(x)=L significa:
  • Para todo \epsilon>0 escolhido (por quão pequeno que seja),
  • existe \delta>0 tal que, sempre que x satisfaz 0<|x-1|<\delta,
  • então |f(x)-L|<\epsilon.
Em fórmula:
\forall \epsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \text{tal que}\\\ 0<|x-1|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon.
Explicando: \epsilon controla quão perto queremos que f(x) fique de L; \delta diz quão perto de 1 precisamos escolher x para garantir isso.

Passo 3

Intuição e candidato para L. Como f é uma função linear, o valor natural para o limite quando x\to 1 é simplesmente f(1). Calculando:
f(1)=4\cdot 1 - 1 = 3.
Portanto o candidato para o limite é L=3. Agora vamos provar formalmente que esse L funciona na definição \epsilon- \delta.

Passo 4

Estudar a diferença |f(x)-L| para ligar isso a |x-1|. Substituindo f(x)=4x-1 e L=3:
|f(x)-L| = |(4x-1)-3|.
Agora simplificar passo a passo:
(4x-1)-3 = 4x-4 = 4(x-1),
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|f(x)-L| = |4(x-1)| = 4\,|x-1|.

Passo 5

Resolver a condição |f(x)-L|<\epsilon em função de |x-1|. Usando o resultado anterior:
|f(x)-L| = 4\,|x-1| < \epsilon
é equivalente a
|x-1| < \frac{\epsilon}{4}.
Isto sugere escolher \delta igual a \epsilon/4. Observação: como \epsilon>0, temos \delta=\epsilon/4>0, que é válido na definição.

Passo 6

Prova formal \epsilon- \delta.
Seja arbitrário \epsilon>0. Defina
\delta := \frac{\epsilon}{4}.
Suponha x satisfazendo 0<|x-1|<\delta. Então, usando o passo 4,
|f(x)-3| = 4\,|x-1| < 4\cdot \delta = 4\cdot\frac{\epsilon}{4} = \epsilon.
Portanto, sempre que 0<|x-1|<\delta segue |f(x)-3|<\epsilon. Isso verifica exatamente a definição de limite com L=3.

Passo 7

Conclusão e observação prática (dica para prova em prova): acabamos de provar que, para todo \epsilon>0, existe \delta=\epsilon/4 que garante a condição da definição. Assim \lim_{x\to 1}(4x-1)=3.
Observação geral útil: para qualquer função linear g(x)=ax+b com a\neq 0, a mesma ideia funciona e pode-se escolher \delta=\epsilon/|a| para provar \lim_{x\to c}g(x)=ac+b. Exemplo rápido: \lim_{x\to 2}(5x+2)=5\cdot 2+2=12, e uma prova \epsilon- \delta usaria \delta=\epsilon/5.

Resposta

3

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