Calcule os seguintes limites pela definição (isto é, usando
e
).
, onde
é um número real dado.
Passo 1
O enunciado pede para calcular, usando a definição com
e
, o limite
onde
é um número real dado.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função considerada é a função constante
(para todo ). - O objetivo é provar, pela definição
- , qual é o valor do limite quando tende a .
Passo 2
Vou lembrar a definição de limite que vamos usar (esta é a definição
-
):
significa que
Explicando os símbolos de forma simples:
-
é a “tolerância” que queremos para a diferença entre e o valor limite (ou seja, quão perto queremos que fique de ). -
é a “tolerância” que vamos impor na variável : se estiver dentro de distância de (mas ), então estará dentro de distância de . - A tarefa é, dado qualquer
, encontrar (ou mostrar que existe) um que garanta a propriedade acima.
Passo 3
Vamos aplicar a definição ao caso
. Suspeitamos que o limite
seja
. Calculemos a diferença que aparece na definição:
Isto vale para todo
: a diferença entre o valor da função e o número
é sempre
.
Passo 4
Agora fazemos a parte construtiva do argumento
-
. Tome um
qualquer. Precisamos escolher um
tal que sempre que
tenhamos
.
Como calculamos, para todo
vale
. E
(porque
é positivo). Portanto qualquer escolha de
funciona. Por exemplo, podemos escolher
Então, sempre que
, temos
Assim, para todo
existe (por exemplo)
que satisfaz a definição. Logo a condição da definição de limite é satisfeita com
.
Passo 5
Concluímos, pela definição
-
, que o limite existe e é igual a
. Intuitivamente: uma função constante nunca varia, então ao aproximar
de
o valor da função permanece exatamente
, portanto o limite é
.