Calcule os seguintes limites pela definição (isto é, usando \epsilon e \delta ).
\lim _{x \rightarrow p} 5, onde p é um número real dado.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando a definição com \varepsilon e \delta, o limite
\lim_{x\to p} 5,
onde p é um número real dado.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função considerada é a função constante f(x)=5 (para todo x).
  • O objetivo é provar, pela definição \varepsilon- \delta, qual é o valor do limite quando x tende a p.

Passo 2

Vou lembrar a definição de limite que vamos usar (esta é a definição \varepsilon- \delta):
\lim_{x\to p} f(x)=L
significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }\delta>0\text{ tal que, se }0<|x-p|<\delta,\text{ então }|f(x)-L|<\varepsilon.ã
Explicando os símbolos de forma simples:
  • \varepsilon>0 é a “tolerância” que queremos para a diferença entre f(x) e o valor limite L (ou seja, quão perto queremos que f(x) fique de L).
  • \delta>0 é a “tolerância” que vamos impor na variável x: se x estiver dentro de distância \delta de p (mas x\neq p), então f(x) estará dentro de distância \varepsilon de L.
  • A tarefa é, dado qualquer \varepsilon>0, encontrar (ou mostrar que existe) um \delta>0 que garanta a propriedade acima.

Passo 3

Vamos aplicar a definição ao caso f(x)=5. Suspeitamos que o limite L seja 5. Calculemos a diferença que aparece na definição:
|f(x)-5| = |5-5| = 0.
Isto vale para todo x: a diferença entre o valor da função e o número 5 é sempre 0.

Passo 4

Agora fazemos a parte construtiva do argumento \varepsilon- \delta. Tome um \varepsilon>0 qualquer. Precisamos escolher um \delta>0 tal que sempre que 0<|x-p|<\delta tenhamos |f(x)-5|<\varepsilon.
Como calculamos, para todo x vale |f(x)-5|=0. E 0<\varepsilon (porque \varepsilon é positivo). Portanto qualquer escolha de \delta>0 funciona. Por exemplo, podemos escolher
\delta = 1.
Então, sempre que 0<|x-p|<\delta, temos
|f(x)-5|=0<\varepsilon.
Assim, para todo \varepsilon>0 existe (por exemplo) \delta=1>0 que satisfaz a definição. Logo a condição da definição de limite é satisfeita com L=5.

Passo 5

Concluímos, pela definição \varepsilon- \delta, que o limite existe e é igual a 5. Intuitivamente: uma função constante nunca varia, então ao aproximar x de p o valor da função permanece exatamente 5, portanto o limite é 5.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to p} 5 = 5

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