Calcule os seguintes limites:
(b) Enuncie o Teorema do Valor Intermediário.
(c) Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação
no intervalo
.
i.
;
ii.
.
(b) Enuncie o Teorema do Valor Intermediário.
(c) Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação
i.
ii.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (i) calcular
e
, (ii) enunciar o Teorema do Valor Intermediário e (iii) usar esse teorema para mostrar que a equação
tem pelo menos uma raiz em
. Vamos usar análise assintótica e racionalização para os limites, depois formular e aplicar o Teorema do Valor Intermediário a uma função contínua.
Passo 2
Calcular
. Para
grande, fatoramos
dentro da raiz:
Logo
Passo 3
Calcular
. Numerador e denominador vão a zero, então racionalizamos o numerador:
Cancelando
,
Passo 4
Enunciar o Teorema do Valor Intermediário. Se
é contínua em
e
é qualquer valor entre
e
, então existe
tal que
.
Passo 5
Aplicar o teorema à equação
. Definimos
que é contínua em
. Calculamos
Como
está entre
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
ou seja, há pelo menos uma raiz em
.
Resposta
O Teorema do Valor Intermediário afirma que se
é contínua em
e
está entre
e
, então existe
com
. Aplicando-o a
em
, encontramos uma raiz de
no intervalo
.