Calcule os seguintes limites:
(b) Enuncie o Teorema do Valor Intermediário.
(c) Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação x^2=raizx+1 no intervalo (1,2).
i. lim x +infty(raizx^2+4 x+1-2);
ii. lim x 3 raizx+6-xx^3-3 x^2.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (i) calcular limxto+inftyl(raizx^2+4x+1-2r) e limxto3raizx+6-xx^3-3x^2, (ii) enunciar o Teorema do Valor Intermediário e (iii) usar esse teorema para mostrar que a equação x^2=raizx+1 tem pelo menos uma raiz em (1,2). Vamos usar análise assintótica e racionalização para os limites, depois formular e aplicar o Teorema do Valor Intermediário a uma função contínua.

Passo 2

Calcular limxto+inftyl(raizx^2+4x+1-2r). Para x grande, fatoramos x^2 dentro da raiz:
raizx^2+4x+1 =|x|raiz1+4x+1x^2 =xl(1+2x+ol(tfrac1xr)r) =x+2+o(1)
Logo
raizx^2+4x+1-2 = x + o(1) longrightarrow +infty

Passo 3

Calcular limxto3raizx+6-xx^3-3x^2. Numerador e denominador vão a zero, então racionalizamos o numerador:
raizx+6-xx^2(x-3) cdotraizx+6+xraizx+6+x =(x+6)-x^2x^2(x-3)l(raizx+6+xr) =-(x-3)(x+2)x^2(x-3)l(raizx+6+xr)
Cancelando x-3,
raizx+6-xx^3-3x^2 =-x+2x^2l(raizx+6+xr) longrightarrow -3+29,(3+3) = -554

Passo 4

Enunciar o Teorema do Valor Intermediário. Se f é contínua em [a,b] e L é qualquer valor entre f(a) e f(b), então existe cin(a,b) tal que f(c)=L.

Passo 5

Aplicar o teorema à equação x^2=raizx+1. Definimos
g(x)=x^2-raizx+1,
que é contínua em [1,2]. Calculamos
g(1)=1-raiz2<0, g(2)=4-raiz3>0
Como 0 está entre g(1) e g(2), pelo Teorema do Valor Intermediário existe cin(1,2) tal que
g(c)=0Longrightarrow c^2=raizc+1,
ou seja, há pelo menos uma raiz em (1,2).

Resposta

limxto+inftyl(raizx^2+4x+1-2r)=+infty, limxto3raizx+6-xx^3-3x^2=-554
O Teorema do Valor Intermediário afirma que se f é contínua em [a,b] e L está entre f(a) e f(b), então existe cin(a,b) com f(c)=L. Aplicando-o a g(x)=x^2-raizx+1 em [1,2], encontramos uma raiz de x^2=raizx+1 no intervalo (1,2).

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