Exercício 10. (Apostol seção 1.13 exercício 11) Seja
o espaço vetorial de todos os polinômios reais. Definamos
por
a) Mostre que
define um produto interno.
b) Mostre que
!.
c) Calcule
.
d) Ache todos os polinômios de ordem
que são ortogonais a
.
b) Mostre que
c) Calcule
d) Ache todos os polinômios de ordem
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
de todos os polinômios reais e define o candidato a produto interno
O que vamos usar: as propriedades de linearidade e simetria de integrais, o sinal positivo do peso
e a fórmula
Passo 2
Para mostrar que
é produto interno, precisamos três propriedades:
e de modo análogo no segundo argumento.
e
implicaria
para quase todo
, logo
.
Portanto, é de fato um produto interno.
Passo 3
Para
,
Passo 4
Temos de calcular
. Primeiro expandimos o produto dentro da integral:
Logo
Passo 5
Queremos todos os polinômios de grau
,
ortogonais a
, isto é
Expandindo:
portanto
Dessa equação segue
, ou
. Assim
com
arbitrário real.
Resposta
a)
satisfaz linearidade, simetria e positividade definida, logo é produto interno.
b) .
c) .
d) Os polinômios de grau ortogonais a
são
b)
c)
d) Os polinômios de grau
com
.