Exercício 10. (Apostol seção 1.13 exercício 11) Seja P o espaço vetorial de todos os polinômios reais. Definamos lang<=,rang<=: P times P R por
lang<= f, grang<==integral0^infty e^-t f(t) g(t) d t
a) Mostre que lang<=,rang<=: P times P R define um produto interno.
b) Mostre que lang<= t^m, t^nrang<==(m+n) !.
c) Calcule lang<=(1+t)^2, 1+t^2rang<=.
d) Ache todos os polinômios de ordem <= 1 que são ortogonais a 1+t.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial P de todos os polinômios reais e define o candidato a produto interno
lang<= f,grang<==integral0^inftye^-tf(t),g(t),dt
O que vamos usar: as propriedades de linearidade e simetria de integrais, o sinal positivo do peso e^-t e a fórmula
integral0^inftye^-tt^k,dt = k!(kinNcup0)

Passo 2

Para mostrar que lang<=cdot,cdotrang<= é produto interno, precisamos três propriedades:
1. Bilinearidade em cada argumento: como a integral é linear, para quaisquer polinômios f1,f2,g e escalar a,
lang<= f1+f2,grang<= =integral0^inftye^-t(f1+f2)g =integral0^inftye^-tf1g+integral0^inftye^-tf2g =lang<= f1,grang<=+lang<= f2,grang<=,
lang<= a,f1,grang<= =integral0^inftye^-t(a,f1)g =aintegral0^inftye^-tf1g =a,lang<= f1,grang<=,
e de modo análogo no segundo argumento.
2. Simetria: trocando f e g,
lang<= f,grang<= =integral0^inftye^-tf(t),g(t),dt =integral0^inftye^-tg(t),f(t),dt =lang<= g,frang<=
3. Positividade definida: para todo fneq0,
lang<= f,frang<= =integral0^inftye^-t[f(t)]^2,dt>=0
e lang<= f,frang<==0 implicaria [f(t)]^2=0 para quase todo t, logo fequiv0.
Portanto, é de fato um produto interno.

Passo 3

Para m,n>=0,
lang<= t^m,t^nrang<= =integral0^inftye^-tt^mt^n,dt =integral0^inftye^-tt^m+n,dt =(m+n)!

Passo 4

Temos de calcular
lang<=(1+t)^2,,1+t^2rang<=. Primeiro expandimos o produto dentro da integral:
(1+t)^2(1+t^2) =(1+2t+t^2)(1+t^2) =1+2t+2t^2+2t^3+t^4
Logo
lang<=(1+t)^2,1+t^2rang<= =integral0^inftye^-tl(1+2t+2t^2+2t^3+t^4r),dt =0!+2cdot1!+2cdot2!+2cdot3!+4! =1+2+4+12+24=43

Passo 5

Queremos todos os polinômios de grau <=1,
p(t)=a+bt,
ortogonais a 1+t, isto é
lang<= p,,1+trang<= =integral0^inftye^-t(a+bt)(1+t),dt=0
Expandindo:
(a+bt)(1+t)=a+(a+b)t+b,t^2,
portanto
lang<= p,1+trang<= =acdot0!+(a+b)cdot1!+bcdot2! =a+(a+b)+2b =2a+3b=0
Dessa equação segue 2a+3b=0, ou a=-tfrac32b. Assim
p(t)=bl(t-tfrac32r),
com b arbitrário real.

Resposta

a) lang<=cdot,cdotrang<= satisfaz linearidade, simetria e positividade definida, logo é produto interno.
b) lang<= t^m,t^nrang<==(m+n)!.
c) lang<=(1+t)^2,1+t^2rang<==43.
d) Os polinômios de grau <=1 ortogonais a 1+t são
p(t)=bl(t-tfrac32r),
com binR.

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