1. Considere a função f(x)=raizx+1.
    (a) Calcule f^prime(x), usando a definição de derivada.
    (b) Determine a área do triângulo que a reta tangente à curva dada, no ponto x=0, forma com os eixos coordenados.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=raizx+1 e pede duas coisas:
  1. (a) Calcular f'(x) usando a definição de derivada por limite.
  2. (b) Determinar a área do triângulo que a reta tangente à curva em x=0 forma com os eixos coordenados.
    Vamos precisar usar a definição
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h
para achar a derivada e depois a equação da reta tangente para calcular interceptos e área de triângulo.

Passo 2

Aplicando a definição de derivada, para ponto genérico x:
f'(x)=limhto0raiz(x+h)+1-raizx+1h
Racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
raizx+h+1-raizx+1hcdotraizx+h+1+raizx+1raizx+h+1+raizx+1 =(x+h+1)-(x+1)hl(raizx+h+1+raizx+1r) =hhl(raizx+h+1+raizx+1r)
Cancelando hneq0 e fazendo hto0:
f'(x)=1raizx+1+raizx+1 =12raizx+1

Passo 3

Em particular, no ponto x=0 temos
f'(0)=12raiz0+1=12
O valor de f(0) é raiz0+1=1. Logo a reta tangente em x=0 é
y-1=12(x-0),
ou seja
y=12x+1

Passo 4

Para achar os interceptos:
– Intercepto em y (quando x=0): y(0)=1.
– Intercepto em x (quando y=0):
0=12x+1 Longrightarrow x=-2
Assim o triângulo formado pelos pontos (0,0), (0,1) e (-2,0) tem base de comprimento 2 e altura 1.

Passo 5

A área de um triângulo é tfrac12timesbasetimesa<ura. Portanto,
Área=12times2times1=1 Á

Resposta

(a) f'(x)=12raizx+1
(b) A área do triângulo é 1.

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