- Considere a função
.
(a) Calcule
, usando a definição de derivada.
(b) Determine a área do triângulo que a reta tangente à curva dada, no ponto
, forma com os eixos coordenados.
(a) Calcule
(b) Determine a área do triângulo que a reta tangente à curva dada, no ponto
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Calcular
usando a definição de derivada por limite. - (b) Determinar a área do triângulo que a reta tangente à curva em
forma com os eixos coordenados.
Vamos precisar usar a definição
para achar a derivada e depois a equação da reta tangente para calcular interceptos e área de triângulo.
Passo 2
Aplicando a definição de derivada, para ponto genérico
:
Racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
Cancelando
e fazendo
:
Passo 3
Em particular, no ponto
temos
O valor de
é
. Logo a reta tangente em
é
ou seja
Passo 4
Para achar os interceptos:
– Intercepto em (quando
):
.
– Intercepto em (quando
):
– Intercepto em
– Intercepto em
Assim o triângulo formado pelos pontos
,
e
tem base de comprimento
e altura
.
Passo 5
A área de um triângulo é
. Portanto,
Resposta
(a)
(b) A área do triângulo é .
(b) A área do triângulo é