A expressão é da forma \left(1+\dfrac{2}{x}\right)^{x}.
Foi lembrado que a base do logaritmo natural é o número de Neper \mathrm{e} (aproximadamente \mathrm{e}\cong2,7182).
Para valores de x suficientemente negativos (por exemplo x<-2) a quantidade 1+\dfrac{2}{x} é positiva, então a potência está bem definida em torno do infinito negativo.
Passo 2
Estratégia geral (sem cálculos ainda): é habitual resolver limites desse tipo tomando o logaritmo natural da expressão para transformar potência em produto, calcular o limite do logaritmo e depois exponenciar o resultado. Vou usar também um limite básico e muito útil:
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1,
que pode ser justificando por regra de L’Hôpital ou pela expansão de Taylor de \ln(1+u) (ambos dão que \ln(1+u)\sim u quando u\to0).
Passo 3
Fazendo a substituição x=-t com t\to+\infty (isso transforma o problema para um limite em +\infty e costuma simplificar a visualização):
\ln L = \lim_{t\to+\infty} 2\cdot\frac{\ln\!\left(1-\dfrac{2}{t}\right)}{-\dfrac{2}{t}}.
Pela identidade citada, o quociente tende a 1. Logo
\ln L = 2\cdot 1 = 2.
Passo 6
Voltando da forma logarítmica para o valor do limite:
L = \mathrm{e}^{\ln L} = \mathrm{e}^{2}.
Também vale comentar a interpretação: isto coincide com a regra geral \lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\dfrac{a}{x}\right)^{x}=\mathrm{e}^{a} para constante a (a mesma técnica com substituição e logaritmo mostra isso). Um exemplo análogo rápido: \lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{3}{x}\right)^{x}=\mathrm{e}^{3}.