Calcule os seguintes limites (envolvendo o número neperiano e \cong 2,7182 ):
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A variável x tende para -\infty.
  • A expressão é da forma \left(1+\dfrac{2}{x}\right)^{x}.
  • Foi lembrado que a base do logaritmo natural é o número de Neper \mathrm{e} (aproximadamente \mathrm{e}\cong2,7182).
  • Para valores de x suficientemente negativos (por exemplo x<-2) a quantidade 1+\dfrac{2}{x} é positiva, então a potência está bem definida em torno do infinito negativo.

Passo 2

Estratégia geral (sem cálculos ainda): é habitual resolver limites desse tipo tomando o logaritmo natural da expressão para transformar potência em produto, calcular o limite do logaritmo e depois exponenciar o resultado. Vou usar também um limite básico e muito útil:
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1,
que pode ser justificando por regra de L’Hôpital ou pela expansão de Taylor de \ln(1+u) (ambos dão que \ln(1+u)\sim u quando u\to0).

Passo 3

Fazendo a substituição x=-t com t\to+\infty (isso transforma o problema para um limite em +\infty e costuma simplificar a visualização):
\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x}=\left(1+\frac{2}{-t}\right)^{-t}=\left(1-\frac{2}{t}\right)^{-t}.
Portanto o limite original é igual a
\lim_{t\to+\infty}\left(1-\frac{2}{t}\right)^{-t}.

Passo 4

Agora tome o logaritmo natural da expressão e calcule o limite do logaritmo:
defina L como o limite desejado (quando existir)
L=\lim_{t\to+\infty}\left(1-\frac{2}{t}\right)^{-t}.
Então
\ln L=\lim_{t\to+\infty}\left[-t\cdot\ln\!\left(1-\frac{2}{t}\right)\right].

Passo 5

Use a identidade \lim_{u\to0}\dfrac{\ln(1+u)}{u}=1. No nosso caso, quando t\to+\infty temos u=-\dfrac{2}{t}\to0. Reescrevendo o limite:
\ln L=\lim_{t\to+\infty} t\cdot\left[-\ln\!\left(1-\frac{2}{t}\right)\right] = \lim_{t\to+\infty} t\cdot\left[\left(-\frac{2}{t}\right)\cdot\frac{\ln\!\left(1-\dfrac{2}{t}\right)}{-\dfrac{2}{t}}\right].
Agrupando:
\ln L = \lim_{t\to+\infty} 2\cdot\frac{\ln\!\left(1-\dfrac{2}{t}\right)}{-\dfrac{2}{t}}.
Pela identidade citada, o quociente tende a 1. Logo
\ln L = 2\cdot 1 = 2.

Passo 6

Voltando da forma logarítmica para o valor do limite:
L = \mathrm{e}^{\ln L} = \mathrm{e}^{2}.
Também vale comentar a interpretação: isto coincide com a regra geral \lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\dfrac{a}{x}\right)^{x}=\mathrm{e}^{a} para constante a (a mesma técnica com substituição e logaritmo mostra isso). Um exemplo análogo rápido: \lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{3}{x}\right)^{x}=\mathrm{e}^{3}.

Resposta

\mathrm{e}^{2}

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