Calcule os seguintes limites (envolvendo o número neperiano e \cong 2,7182 ):
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3 x}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3x}.
Informações dadas e relevantes:
  • A expressão é \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{3x} com x\to+\infty.
  • Foi lembrado que o número de Neper e vale aproximadamente 2,7182.
  • A tarefa é encontrar o valor do limite quando x cresce sem bound.

Passo 2

Transformar a expressão usando logaritmo natural para facilitar a análise. Isso é uma técnica padrão: se uma sequência/funcão positiva y(x)>0 tem limite da forma incógnita, muitas vezes é mais simples estudar \ln y(x) e depois aplicar a exponencial (função continua).
Defina
y(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3x},
então
\ln y(x)=3x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right).
Explicando cada passo:
  • Foi usada a propriedade \ln(a^b)=b\ln a.
  • A expressão dentro do \ln é positiva para x>0, então o log está bem definido.
    A meta agora é calcular \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln y(x); depois o limite original será a exponencial desse limite.

Passo 3

Avaliar \displaystyle\lim_{x\to+\infty}3x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right). Reescrevemos de forma conveniente:
3x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right) =3\cdot\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}{\dfrac{1}{x}}.
Agora faça a mudança z=\dfrac{1}{x}. Quando x\to+\infty tem-se z\to 0^+. A expressão acima fica
3\cdot\frac{\ln(1+z)}{z}\quad\text{com }z\to 0^+.
É um limite padrão que vale 1:
\lim_{z\to 0}\frac{\ln(1+z)}{z}=1.
Motivos/justificativas (duas formas rápidas de ver isso):
  • Pelo desenvolvimento em série: \ln(1+z)=z+o(z) quando z\to0, logo \ln(1+z)/z\to1.
  • Ou por L’Hôpital: \lim_{z\to0}\dfrac{\ln(1+z)}{z}=\lim_{z\to0}\dfrac{1/(1+z)}{1}=1.
Assim,
\lim_{x\to+\infty}3x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)=3\cdot 1=3.

Passo 4

Voltando ao y(x): se \ln y(x)\to 3 quando x\to+\infty, pela continuidade da exponencial concluímos
\lim_{x\to+\infty}y(x)=\lim_{x\to+\infty}e^{\ln y(x)}=e^{\;3}.
Ou seja, o limite pedido é e^{3}.

Passo 5

Interpretação numérica usando e\approx 2,7182:
e^{3}\approx 2{,}7182^{3}\approx 20{,}085.
Isso só para ter uma ideia do tamanho do valor; a resposta exata é e^{3}.

Resposta

\,e^{3}

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