Calcule os seguintes limites (envolvendo o número neperiano e
):
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e relevantes:
- A expressão é
com . - Foi lembrado que o número de Neper
vale aproximadamente . - A tarefa é encontrar o valor do limite quando
cresce sem bound.
Passo 2
Transformar a expressão usando logaritmo natural para facilitar a análise. Isso é uma técnica padrão: se uma sequência/funcão positiva
tem limite da forma incógnita, muitas vezes é mais simples estudar
e depois aplicar a exponencial (função continua).
Defina
então
Explicando cada passo:
- Foi usada a propriedade
. - A expressão dentro do
é positiva para , então o log está bem definido.
A meta agora é calcular; depois o limite original será a exponencial desse limite.
Passo 3
Avaliar
. Reescrevemos de forma conveniente:
Agora faça a mudança
. Quando
tem-se
. A expressão acima fica
É um limite padrão que vale
:
Motivos/justificativas (duas formas rápidas de ver isso):
- Pelo desenvolvimento em série:
quando , logo . - Ou por L’Hôpital:
.
Assim,
Passo 4
Voltando ao
: se
quando
, pela continuidade da exponencial concluímos
Ou seja, o limite pedido é
.
Passo 5
Interpretação numérica usando
:
Isso só para ter uma ideia do tamanho do valor; a resposta exata é
.