Calcule os seguintes limites (envolvendo o limite trigonométrico fundamental):
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função envolvida é a tangente composta
(vou usar a notação padrão para tangente). - O ponto de aproximação é
. - O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Lembrete importante (o limite trigonométrico fundamental) que vou usar aqui: para a função seno vale
Explicação didática curta: para
próximo de zero, em radianos, tem-se a desigualdade
para
(e pelo caráter ímpar de
o resultado vale também para
). Como
, pelo teorema do sanduíche (squeeze) segue
. Esse resultado é a base para aproximar funções trigonométricas lineares perto de zero.
Passo 3
Faço uma identidade trigonométrica para escrever a tangente em termos de seno e cosseno:
Passo 4
Reescrevo a expressão de forma a aparecer o quociente
, que posso ligar ao limite fundamental:
Detalhe da manipulação: multipliquei e dividi por
no numerador/denominador para separar
.
Passo 5
Agora calculo o limite usando propriedades de limites (produto de limites quando cada limite existe):
- Pela substituição
(quando também ) e pelo limite fundamental,
- A constante
permanece . - Como
é contínua em ,
Multiplicando os limites:
Passo 6
Conclusão clara: o limite pedido existe e vale
. Força aí — esse tipo de aplicação do limite fundamental cai muito na prova e é sempre o mesmo esquema: reduzir para
, usar
e cuidar dos fatores constantes.