Calcule os seguintes limites (envolvendo o limite trigonométrico fundamental):
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}(3 x)}{2 x}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}(3x)}{2x}.
Informações dadas:
  • A função envolvida é a tangente composta \operatorname{tg}(3x) (vou usar a notação padrão \tan para tangente).
  • O ponto de aproximação é x\to 0.
  • O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Lembrete importante (o limite trigonométrico fundamental) que vou usar aqui: para a função seno vale
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Explicação didática curta: para t próximo de zero, em radianos, tem-se a desigualdade \cos t \le \dfrac{\sin t}{t}\le 1 para t>0 (e pelo caráter ímpar de \sin o resultado vale também para t<0). Como \lim_{t\to0}\cos t=1, pelo teorema do sanduíche (squeeze) segue \lim_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1. Esse resultado é a base para aproximar funções trigonométricas lineares perto de zero.

Passo 3

Faço uma identidade trigonométrica para escrever a tangente em termos de seno e cosseno:
\frac{\tan(3x)}{2x}=\frac{\sin(3x)}{2x\cos(3x)}.

Passo 4

Reescrevo a expressão de forma a aparecer o quociente \dfrac{\sin(3x)}{3x}, que posso ligar ao limite fundamental:
\frac{\sin(3x)}{2x\cos(3x)} = \frac{\sin(3x)}{3x}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{\cos(3x)}.
Detalhe da manipulação: multipliquei e dividi por 3 no numerador/denominador para separar \dfrac{\sin(3x)}{3x}.

Passo 5

Agora calculo o limite usando propriedades de limites (produto de limites quando cada limite existe):
  • Pela substituição t=3x (quando x\to0 também t\to0) e pelo limite fundamental,
\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{3x}=1.
  • A constante \dfrac{3}{2} permanece \dfrac{3}{2}.
  • Como \cos é contínua em 0,
\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos(3x)}=\frac{1}{\cos(0)}=\frac{1}{1}=1.
Multiplicando os limites:
\lim_{x\to0}\frac{\tan(3x)}{2x} = 1\cdot\frac{3}{2}\cdot 1=\frac{3}{2}.

Passo 6

Conclusão clara: o limite pedido existe e vale \dfrac{3}{2}. Força aí — esse tipo de aplicação do limite fundamental cai muito na prova e é sempre o mesmo esquema: reduzir para \dfrac{\sin(\cdot)}{\cdot}, usar \lim_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1 e cuidar dos fatores constantes.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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