Calcule os seguintes limites, se existirem:
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende para
:
Informações dadas:
- É uma função racional cujo numerador é
e o denominador é . - O limite é quando
(apenas pela direita, valores grandes e positivos de ).
Passo 2
O que costuma funcionar bem aqui é observar os graus (potências) do polinômio no numerador e no denominador:
- O numerador tem grau
(termo dominante ). - O denominador tem grau
(termo dominante ).
Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, a razão tipicamente cresce em módulo para infinito. Para obter uma resposta clara e bem justificada fazemos uma divisão polinomial (ou, alternativamente, dividir numerador e denominador pela maior potência; aqui uso a divisão polinomial porque é direta e ensina bem o passo a passo).
Passo 3
Realizando a divisão polinomial de
por
:
- Primeiro termo do quociente:
, porque .
- Subtraindo esse produto do numerador:
- Próximo termo do quociente:
, porque .
- Subtraindo:
Portanto, o quociente da divisão é
e o resto é
. Assim podemos reescrever a fração como
Passo 4
Agora analisamos o limite termo a termo usando a decomposição obtida.
-
Para o primeiro termo:
, porque é uma função linear com coeficiente positivo; à medida que cresce, cresce sem limite superior. -
Para o segundo termo:
, pois o numerador é constante e o denominador cresce para , fazendo a fração tender a zero.
Somando os limites (quando um termo diverge para
e o outro tende a um número finito), o resultado diverge para
. Em notação:
Passo 5
Se quiser uma justificativa do tipo "para todo
existe
tal que para
a função é maior que
" (definição de limite que diverge para
):
Para
tem-se
, logo
Dado
, basta tomar
. Para todo
segue
, então
. Isso mostra formalmente que a função cresce além de qualquer
, isto é, o limite é
.