Calcule os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x^{2}-8}{x-4}\

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende para +\infty:
\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^{2}-8}{x-4}.
Informações dadas:
  • É uma função racional cujo numerador é 2x^{2}-8 e o denominador é x-4.
  • O limite é quando x\to+\infty (apenas pela direita, valores grandes e positivos de x).

Passo 2

O que costuma funcionar bem aqui é observar os graus (potências) do polinômio no numerador e no denominador:
  • O numerador tem grau 2 (termo dominante 2x^{2}).
  • O denominador tem grau 1 (termo dominante x).
Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, a razão tipicamente cresce em módulo para infinito. Para obter uma resposta clara e bem justificada fazemos uma divisão polinomial (ou, alternativamente, dividir numerador e denominador pela maior potência; aqui uso a divisão polinomial porque é direta e ensina bem o passo a passo).

Passo 3

Realizando a divisão polinomial de 2x^{2}-8 por x-4:
  1. Primeiro termo do quociente: \;2x, porque \dfrac{2x^{2}}{x}=2x.
(x-4)\cdot(2x)=2x^{2}-8x.
  1. Subtraindo esse produto do numerador:
(2x^{2}-8) - (2x^{2}-8x) = 8x-8.
  1. Próximo termo do quociente: \;8, porque \dfrac{8x}{x}=8.
(x-4)\cdot 8 = 8x-32.
  1. Subtraindo:
(8x-8) - (8x-32) = 24.
Portanto, o quociente da divisão é 2x+8 e o resto é 24. Assim podemos reescrever a fração como
\frac{2x^{2}-8}{x-4}=(2x+8)+\frac{24}{x-4}.

Passo 4

Agora analisamos o limite termo a termo usando a decomposição obtida.
  • Para o primeiro termo: \displaystyle \lim_{x\to+\infty}(2x+8)=+\infty, porque é uma função linear com coeficiente positivo; à medida que x cresce, 2x+8 cresce sem limite superior.
  • Para o segundo termo: \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{24}{x-4}=0, pois o numerador é constante e o denominador cresce para +\infty, fazendo a fração tender a zero.
Somando os limites (quando um termo diverge para +\infty e o outro tende a um número finito), o resultado diverge para +\infty. Em notação:
\lim_{x\to+\infty}\left[(2x+8)+\frac{24}{x-4}\right]=+\infty+0=+\infty.

Passo 5

Se quiser uma justificativa do tipo "para todo M>0 existe X tal que para x>X a função é maior que M" (definição de limite que diverge para +\infty):
Para x>4 tem-se \dfrac{24}{x-4}>0, logo
\frac{2x^{2}-8}{x-4}=(2x+8)+\frac{24}{x-4} > 2x+8.
Dado M>0, basta tomar X=\max\!\left\{4,\frac{M-8}{2}\right\}. Para todo x>X segue 2x+8>M, então \dfrac{2x^{2}-8}{x-4}>M. Isso mostra formalmente que a função cresce além de qualquer M, isto é, o limite é +\infty.

Resposta

+\infty

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