Calcule os seguintes limites, se existirem:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende para
da expressão
Informações dadas:
- A função é o polinômio
. - Queremos saber o comportamento de
quando : se converge para um número finito, diverge para ou para , ou não existe de outra forma.
Passo 2
Ideia de resolução (passo técnico): fatorar o maior fator de potência de
(o termo de maior grau) para evidenciar quais termos são dominantes quando
cresce muito. Fatoremos
do polinômio:
Explicação didática: ao dividir cada termo por
obtemos um fator comum
multiplicando uma soma onde aparecem frações com potências negativas de
. Isso mostra como cada termo relativo ao maior grau se comporta quando
fica grande.
Passo 3
Estude o fator entre parênteses quando
:
Razão: para
temos
e
porque potências positivas de
no denominador vão a zero quando
cresce sem limite. Assim
Passo 4
Agora considere o produto
vezes o parênteses. Sabendo que
usamos o fato (regra de limites) de que se
e
com
, então
. Aqui
. Logo
Passo 5
Interpretação intuitiva: o termo de maior grau
domina o comportamento do polinômio para grandes
. Os termos
e
são desprezíveis em comparação com
, portanto o polinômio cresce como
quando
, levando o valor a
. Força motivacional: isso ocorre com qualquer polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo — ele cresce sem limite quando
.