Calcule os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow+\infty} 4 x^{5}-8 x^{3}+1\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende para +\infty da expressão
4x^{5}-8x^{3}+1.
Informações dadas:
  • A função é o polinômio f(x)=4x^{5}-8x^{3}+1.
  • Queremos saber o comportamento de f(x) quando x\to+\infty: se converge para um número finito, diverge para +\infty ou para -\infty, ou não existe de outra forma.

Passo 2

Ideia de resolução (passo técnico): fatorar o maior fator de potência de x (o termo de maior grau) para evidenciar quais termos são dominantes quando x cresce muito. Fatoremos x^5 do polinômio:
4x^{5}-8x^{3}+1 = x^{5}\Bigl(4 - \frac{8}{x^{2}} + \frac{1}{x^{5}}\Bigr).
Explicação didática: ao dividir cada termo por x^5 obtemos um fator comum x^5 multiplicando uma soma onde aparecem frações com potências negativas de x. Isso mostra como cada termo relativo ao maior grau se comporta quando x fica grande.

Passo 3

Estude o fator entre parênteses quando x\to+\infty:
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(4 - \frac{8}{x^{2}} + \frac{1}{x^{5}}\Bigr).
Razão: para x\to+\infty temos \dfrac{8}{x^{2}}\to 0 e \dfrac{1}{x^{5}}\to 0 porque potências positivas de x no denominador vão a zero quando x cresce sem limite. Assim
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(4 - \frac{8}{x^{2}} + \frac{1}{x^{5}}\Bigr)=4.

Passo 4

Agora considere o produto x^{5} vezes o parênteses. Sabendo que
\lim_{x\to+\infty} x^{5} = +\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}\Bigl(4 - \frac{8}{x^{2}} + \frac{1}{x^{5}}\Bigr)=4,
usamos o fato (regra de limites) de que se g(x)\to+\infty e h(x)\to c com c>0, então g(x)h(x)\to+\infty. Aqui c=4>0. Logo
\lim_{x\to+\infty} x^{5}\Bigl(4 - \frac{8}{x^{2}} + \frac{1}{x^{5}}\Bigr)=+\infty.

Passo 5

Interpretação intuitiva: o termo de maior grau 4x^{5} domina o comportamento do polinômio para grandes x. Os termos -8x^{3} e 1 são desprezíveis em comparação com x^{5}, portanto o polinômio cresce como 4x^{5} quando x\to+\infty, levando o valor a +\infty. Força motivacional: isso ocorre com qualquer polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo — ele cresce sem limite quando x\to+\infty.

Resposta

+\infty

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