Calcule os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow-\infty} 4 x^{5}-8 x^{3}+1\

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a -\infty da expressão 4x^{5}-8x^{3}+1.
Informações dadas:
  • A função considerada é o polinômio p(x)=4x^{5}-8x^{3}+1.
  • Queremos \displaystyle \lim_{x\to -\infty}4x^{5}-8x^{3}+1.

Passo 2

Lembrete útil (conceito): para polinômios, o comportamento quando x\to\pm\infty é dominado pelo termo de maior grau (termo dominante). Aqui o termo de maior grau é 4x^{5}, porque o grau do polinômio é 5. Isso significa que, para valores muito grandes em módulo de x, o termo 4x^{5} determina o sinal e a ordem de grandeza do polinômio; os termos menores são desprezíveis comparados a ele.

Passo 3

Vamos tornar isso explícito factorizando o termo dominante. Fatoramos x^{5} da expressão:
4x^{5}-8x^{3}+1 = x^{5}\left(4 - 8x^{-2} + x^{-5}\right).
Aqui foi usado que x^{3}=x^{5}\cdot x^{-2} e 1=x^{5}\cdot x^{-5}.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento quando x\to -\infty. Para x\to -\infty temos:
  • \displaystyle x^{5}\to -\infty porque 5 é ímpar e potências ímpares preservam o sinal de x.
  • \displaystyle x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}\to 0^{+} porque x^{2}\to +\infty.
  • \displaystyle x^{-5}=\frac{1}{x^{5}}\to 0^{-} (vai a zero, com sinal negativo, mas o importante aqui é que tende a 0).
Portanto o fator entre parênteses tende a
4 - 8x^{-2} + x^{-5} \longrightarrow 4 - 0 + 0 = 4.

Passo 5

Com isso, para x muito negativo,
4x^{5}-8x^{3}+1 = x^{5}\left(4 - 8x^{-2} + x^{-5}\right) \sim x^{5}\cdot 4.
Como x^{5}\to -\infty e o parênteses tende a 4>0, o produto tende a -\infty. Em palavras: o termo dominante é 4x^{5}, que vai para -\infty quando x\to -\infty, então o polinômio também vai para -\infty.

Resposta

-\infty

Exercícios relacionados