Calcule os seguintes limites se existirem:
lim (x, y) (2,1) x^3+x^2 y-2 x y-2 x^2-2 x+4x y+x-2 y-2

Passo 1

O enunciado pede o valor de
lim(x,y)to(2,1) x^3+x^2y-2xy-2x^2-2x+4xy+x-2y-2
O conteúdo aqui é cálculo de limite de função de duas variáveis que resulta numa forma indeterminada tfrac00, e vamos usar fatoração e cancelamento de fatores comuns.

Passo 2

Verificamos a substituição direta em (x,y)=(2,1):
numerador = 2^3+2^2cdot1-2cdot2cdot1-2cdot2^2-2cdot2+4 = 8+4-4-8-4+4 = 0,
denominador = 2cdot1+2-2cdot1-2 = 2+2-2-2 = 0
Logo temos forma tfrac00 e é necessário fatorar.

Passo 3

Fatorem o denominador por agrupamento:
xy + x - 2y - 2 = x(y+1) - 2(y+1) = (x-2),(y+1)

Passo 4

Agora fatoramos o numerador. Agrupando termos em função de (x-2):
x^3+x^2y-2xy-2x^2-2x+4 = x^2(x-2) + xy(x-2) -2(x-2) = (x-2)l(x^2 + xy -2r)
Reescrevendo x^2+xy-2 = x(x+y)-2, obtemos
numerador = (x-2)l(x(x+y)-2r)

Passo 5

Cancelamos o fator comum (x-2) (válido para (x,y)neq(2,1)) e obtemos a expressão simplificada
x(x+y)-2y+1
Agora fazemos a substituição (x,y)to(2,1):
2,(2+1)-21+1 = 6-22 = 42 = 2

Resposta

O limite existe e vale 2.

Exercícios relacionados