Calcule as seguintes integrais usando a técnica de integração que the for mais conveniente.
integral x(2+3 x)^13 d x;

Passo 1

Beleza, o problema é calcular
integral x,(2+3x)^tfrac13,dx.
O conteúdo aqui é “integração por substituição” (u-substitution). Vamos precisar reconhecer uma parte da integral como u, trocar tudo para u e depois integrar usando a regra de potências:
integral u^n,du = u^n+1n+1+C.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 2+3x Longrightarrow du = 3,dx Longrightarrow dx = du3
Além disso, x = tfracu-23. Agora a integral vira
integral x,(2+3x)^tfrac13,dx = integral l(tfracu-23r),u^tfrac13,du3 = 19integral (u-2),u^tfrac13,du

Passo 3

Distribuindo em u:
(u-2),u^tfrac13 = u^1+tfrac13-2,u^tfrac13 = u^tfrac43-2,u^tfrac13
Então
19integral l(u^tfrac43-2,u^tfrac13r),du = 19l[integral u^tfrac43du ;-;2integral u^tfrac13dur]
Usando a regra integral u^n du = u^n+1/(n+1):
integral u^tfrac43du = u^tfrac43+1tfrac43+1 = u^tfrac73tfrac73 = 37u^tfrac73,
integral u^tfrac13du = u^tfrac13+1tfrac13+1 = u^tfrac43tfrac43 = 34u^tfrac43
Logo
19l[37u^tfrac73 ;-;2cdot34u^tfrac43r] = 19l[37u^tfrac73-32u^tfrac43r]

Passo 4

Fatorando e simplificando constantes:
19cdot37 = 121, 19cdot32 = 16
Então a primitiva em u é
u^tfrac7321 ;-;u^tfrac436 + C
Voltando a x via u=2+3x:

Resposta

boxed integral x,(2+3x)^tfrac13,dx = (2+3x)^tfrac7321 - (2+3x)^tfrac436 + C

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