Calcule os seguintes limites das funções vetoriais abaixo:.
\operatorname{Lim}_{t \rightarrow-2}\left(\frac{t^{3}+4 t^{2}+4 t}{(t+2)(t+3)} \bar{i}+\bar{j}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função vetorial
\mathbf{f}(t)=\frac{t^{3}+4t^{2}+4t}{(t+2)(t+3)}\,\bar{i}+\bar{j}
quando t\to -2. Aqui o conteúdo é cálculo de limite de função vetorial: basta calcular o limite da componente em \bar{i} e notar que a componente em \bar{j} é constante.

Passo 2

Chamemos
g(t)=\frac{t^{3}+4t^{2}+4t}{(t+2)(t+3)}
para estudar a componente em \bar{i}. Observe que o numerador pode ser fatorado como
t^{3}+4t^{2}+4t = t\,(t^{2}+4t+4)=t\,(t+2)^{2}.

Passo 3

Substituindo a fatoração em g(t) temos, para t\neq -2,
g(t) =\frac{t\,(t+2)^{2}}{(t+2)(t+3)} =\frac{t\,(t+2)}{t+3}.

Passo 4

Agora calculamos o limite de g(t) quando t\to -2:
\lim_{t\to-2}g(t) =\lim_{t\to-2}\frac{t\,(t+2)}{t+3} =\frac{(-2)\cdot0}{(-2)+3} =0.

Passo 5

A componente em \bar{j} é fixamente 1, logo
\lim_{t\to-2}\bar{j}=\bar{j}.
Combinando as duas componentes, o limite da função vetorial é
0\cdot\bar{i}+\bar{j}=\bar{j}.

Resposta

\lim_{t\to-2}\Bigl(\frac{t^{3}+4t^{2}+4t}{(t+2)(t+3)}\,\bar{i}+\bar{j}\Bigr) =\bar{j}.

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