(2 pts) Determine os quatro primeiros termos da sucessão de somas parciais s_{n}. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente, se for convergente, encontre a sua soma
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{(3 n+1)(4 n+1)}

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros termos da sequência de somas parciais
s_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{5}{(3k+1)(4k+1)}
depois decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{(3n+1)(4n+1)}
é convergente e, em caso afirmativo, encontrar sua soma. Para isso vamos primeiro calcular s_1,s_2,s_3,s_4, depois estudar a convergência por comparação com uma série p e, por fim, usar frações parciais para obter a soma exata.

Passo 2

Calcular os quatro primeiros s_n diretamente:
\displaystyle s_1=\frac{5}{(3\cdot1+1)(4\cdot1+1)}=\frac{5}{4\cdot5}=\frac14\approx0{,}2500. \displaystyle s_2=s_1+\frac{5}{(3\cdot2+1)(4\cdot2+1)}=\frac14+\frac{5}{7\cdot9}=\frac{1}{4}+\frac{5}{63} =\frac{415}{1260}\approx0{,}3294. \displaystyle s_3=s_2+\frac{5}{(3\cdot3+1)(4\cdot3+1)}=\frac{415}{1260}+\frac{5}{10\cdot13} =\frac{1205}{3276}\approx0{,}3678. \displaystyle s_4=s_3+\frac{5}{(3\cdot4+1)(4\cdot4+1)}=\frac{1205}{3276}+\frac{5}{13\cdot17} =\frac{282685}{723996}\approx0{,}3904.

Passo 3

Para n grande,
\frac{5}{(3n+1)(4n+1)}\sim\frac{5}{12\,n^2},
e como \sum 1/n^2 converge ( p=2>1), nossa série de termo geral positivo também converge por comparação.

Passo 4

Fazendo a decomposição em frações parciais, achamos
\frac{5}{(3n+1)(4n+1)} =-\frac{15}{3n+1}+\frac{20}{4n+1}.
Logo
s_n =\sum_{k=1}^n\Bigl(-\frac{15}{3k+1}+\frac{20}{4k+1}\Bigr) =-15\sum_{k=1}^n\frac1{3k+1} +20\sum_{k=1}^n\frac1{4k+1}.
Passando ao limite n\to\infty e usando a função digama \psi(x), obtém-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{(3n+1)(4n+1)} =-5\bigl[\psi\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)-\psi\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)\bigr].
Este valor também pode ser expresso em termos de constantes elementares ( \gamma de Euler, \pi e logaritmos), mas fica mais compacto em termos de \psi.

Resposta

s_1=\tfrac14,
s_2=\tfrac{415}{1260},
s_3=\tfrac{1205}{3276},
s_4=\tfrac{282685}{723996}.
A série converge e
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{(3n+1)(4n+1)} =-5\Bigl[\psi\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)-\psi\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)\Bigr].

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