(2 pts) Determine os quatro primeiros termos da sucessão de somas parciais
. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente, se for convergente, encontre a sua soma
Passo 1
O enunciado pede os quatro primeiros termos da sequência de somas parciais
depois decidir se a série
é convergente e, em caso afirmativo, encontrar sua soma. Para isso vamos primeiro calcular
, depois estudar a convergência por comparação com uma série
e, por fim, usar frações parciais para obter a soma exata.
Passo 2
Calcular os quatro primeiros
diretamente:
Passo 3
Para
grande,
e como
converge (
), nossa série de termo geral positivo também converge por comparação.
Passo 4
Fazendo a decomposição em frações parciais, achamos
Logo
Passando ao limite
e usando a função digama
, obtém-se
Este valor também pode ser expresso em termos de constantes elementares (
de Euler,
e logaritmos), mas fica mais compacto em termos de
.
Resposta
A série converge e