( 2 pts) No problema a seguir escreva os 4 primeiros termos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente
\left[\frac{9-2 n}{3+n}\right]

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n}=\frac{9-2n}{3+n}
e pede: (i) escrever os quatro primeiros termos a_{1},a_{2},a_{3},a_{4} e (ii) decidir se a sequência é convergente ou divergente. Vamos usar substituição direta para os primeiros termos e, em seguida, calcular o limite quando n\to\infty para verificar a convergência.

Passo 2

Para obter os quatro primeiros termos, basta substituir n=1,2,3,4 em
a_{n}=\frac{9-2n}{3+n}.
Para n=1:
a_{1}=\frac{9-2\cdot1}{3+1}=\frac{7}{4}.
Para n=2:
a_{2}=\frac{9-2\cdot2}{3+2}=\frac{5}{5}=1.
Para n=3:
a_{3}=\frac{9-2\cdot3}{3+3}=\frac{3}{6}=\tfrac12.
Para n=4:
a_{4}=\frac{9-2\cdot4}{3+4}=\frac{1}{7}.

Passo 3

Para analisar a convergência, calculamos
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{9-2n}{3+n} =\lim_{n\to\infty}\frac{-2+\tfrac{9}{n}}{1+\tfrac{3}{n}} =-2.
Dividimos numerador e denominador por n e usamos que \tfrac{9}{n}\to0 e \tfrac{3}{n}\to0.

Passo 4

Como o limite existe e vale -2, a sequência é convergente, com limite -2.

Resposta

Os quatro primeiros termos são
a_{1}=\tfrac{7}{4},\quad a_{2}=1,\quad a_{3}=\tfrac12,\quad a_{4}=\tfrac{1}{7},
e a sequência é convergente, com
\lim_{n\to\infty}a_{n}=-2.

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