Calcule os seguintes limites de funções vetoriais, se existirem:
lim t 0(t^2 i+3 t j+1-cos tt k)

Passo 1

O enunciado pede a avaliação do limite da função vetorial
r(t)=t^2i+3tj+1-cos ttk
quando tto0. O conteúdo envolve limites de funções vetoriais e de funções escalares (polinomial e trigonométrica).\n

Passo 2

Usamos que o limite de uma soma de vetores e de produto por escalar é dado componente a componente, ou seja,
limtto0r(t) =limtto0(t^2),i +limtto0(3t),j +limtto0l(1-cos ttr),k.
\n

Passo 3

Calculamos as componentes polinomiais:
limtto0t^2=0, limtto03t=0
Portanto, as componentes em i e j tendem a zero.\n

Passo 4

Para a componente em k, usamos a expansão em série ou o limite trigonométrico conhecido:
1-cos tapprox t^22para tapprox0,
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1-cos ttapproxt^2/2t=t2to0
Assim,
limtto01-cos tt=0 \n

Passo 5

Reunindo as três componentes, obtemos
limtto0r(t) =0,i+0,j+0,k =0 \n

Resposta

0

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