Calcule os seguintes limites, identificando o tipo da indeterminação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
Estamos lidando com limites, mais especificamente, identificando o tipo de indeterminação que aparece. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades de funções exponenciais e logarítmicas, além de saber como aplicar a Regra de L’Hôpital quando encontramos uma forma indeterminada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos $ t = 0 $ diretamente na expressão:
No numerador:
No denominador:
Então, temos a forma indeterminada $ \frac{0}{0} $.
Passo 3
Quando encontramos uma indeterminação do tipo $ \frac{0}{0} $, podemos usar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos permite calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente.
Vamos primeiro derivar o numerador e o denominador em relação a $ t $.
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Passo 4
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite original se transforma em:
Vamos substituir $ t = 0 $ nessa nova expressão para verificar se ainda temos uma indeterminação:
No numerador:
No denominador:
Ainda temos a forma $ \frac{0}{0} $, então precisamos aplicar a Regra de L’Hôpital novamente.
Passo 5
Vamos derivar novamente o numerador e o denominador da nova expressão.
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Passo 6
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital pela segunda vez, temos:
Vamos substituir $ t = 0 $:
No numerador:
No denominador:
Resposta
Portanto, o limite vale: