Calcule os seguintes limites, identificando o tipo da indeterminação:
lim t 0^+ e^2 t-2 t-1t ln (1+t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
lim t 0^+ e^2 t-2 t-1t ln (1+t)
Estamos lidando com limites, mais especificamente, identificando o tipo de indeterminação que aparece. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades de funções exponenciais e logarítmicas, além de saber como aplicar a Regra de L’Hôpital quando encontramos uma forma indeterminada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos $ t = 0 $ diretamente na expressão:
No numerador:
t = 0
No denominador:
e^2 cdot 0 - 2 cdot 0 - 1 = e^0 - 0 - 1 = 1 - 0 - 1 = 0
Então, temos a forma indeterminada $ \frac{0}{0} $.

Passo 3

Quando encontramos uma indeterminação do tipo $ \frac{0}{0} $, podemos usar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos permite calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente.
Vamos primeiro derivar o numerador e o denominador em relação a $ t $.
Derivada do numerador:
00
Derivada do denominador:
t

Passo 4

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite original se transforma em:
lim t 0^+ 2 e^2 t - 2ln(1 + t) + t1 + t
Vamos substituir $ t = 0 $ nessa nova expressão para verificar se ainda temos uma indeterminação:
No numerador:
t = 0
No denominador:
2 e^2 cdot 0 - 2 = 2 cdot 1 - 2 = 0
Ainda temos a forma $ \frac{0}{0} $, então precisamos aplicar a Regra de L’Hôpital novamente.

Passo 5

Vamos derivar novamente o numerador e o denominador da nova expressão.
Derivada do numerador:
ddt(2 e^2 t - 2) = 4 e^2 t
Derivada do denominador:
ddt(ln(1 + t) + t1 + t) = 11 + t + 1 cdot (1 + t) - t cdot 1(1 + t)^2 = 11 + t + 1(1 + t)^2

Passo 6

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital pela segunda vez, temos:
lim t 0^+ 4 e^2 t11 + t + 1(1 + t)^2
Vamos substituir $ t = 0 $:
No numerador:
t = 0
No denominador:
4 e^2 cdot 0 = 4 cdot 1 = 4

Resposta

Portanto, o limite vale:
42 = 2

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