Seja a EDO d^2 yd x^2-7 d yd x+12 y=0, determine o Wronskiano da solução.

Passo 1

O enunciado pede o Wronskiano da EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes y''-7y'+12y=0. O conteúdo aqui é equação diferencial linear de segunda ordem e vamos precisar encontrar duas soluções independentes e aplicar a definição ou usar a identidade de Abel.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica associada: r^2-7r+12=0. As raízes são r1=3 e r2=4. Logo, um conjunto fundamental de soluções é
y1(x)=e^3x,
y2(x)=e^4x

Passo 3

Para calcular o Wronskiano definimos
Substituindo as soluções:
W(y1,y2)(x)=eginvmatrixy1 & y2y1' & y2' =y1y2'-y1'y2 Também poderíamos usar a identidade de Abel para confirmar que W(x)=e^3xigl(4e^4xr)-igl(3e^3xr)e^4x=(4-3)e^7x=e^7x , e pelo cálculo direto vemos que W(x)=Ce^integral7,dx=Ce^7x.

Resposta

O Wronskiano é W(x)=e^7x.

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