Considere a EDO d^3 yd x^3-3 d^2 yd x^2+3 d yd x-y=0, determine sua solução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem juntos! O enunciado é:
d^3 yd x^3 - 3 d^2 yd x^2 + 3 d yd x - y = 0
Estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método dos coeficientes constantes, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, vamos formar a equação característica. Isso é feito substituindo cada derivada por $ r $ elevado ao poder correspondente. Assim, a nossa EDO se transforma em:
r
Essa é a nossa equação característica que precisamos resolver para encontrar os valores de $ r $.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
r^3 - 3 r^2 + 3 r - 1 = 0
Percebe que essa equação pode ser fatorada. Observando, podemos tentar dividir polinomialmente ou notar que $ r = 1 $ é uma raiz evidente:
r = 1
Então, $ r = 1 $ é uma raiz. Podemos fatorar a equação como:
1^3 - 3(1)^2 + 3(1) - 1 = 1 - 3 + 3 - 1 = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda parte da fatoração:
r^2 - 2 r + 1 = 0
Essa é uma equação quadrática que pode ser resolvida usando a fórmula de Bhaskara:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4(1)(1)2 = 2 pm raiz4 - 42 = 22 = 1
Então, temos $ r = 1 $ com multiplicidade três, já que $ r = 1 $ se repete três vezes.

Passo 5

Com as raízes encontradas, $ r = 1 $ tripla, podemos escrever a solução geral da EDO. Quando temos raízes repetidas, a solução inclui termos multiplicados por $ x $ para cada multiplicidade. Assim, a solução geral é:
r = 1
Aqui, $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes que seriam determinadas por condições iniciais, se fossem fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (C1 + C2,x + C3,x^2) e^x

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