Considere a EDO
, determine sua solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem juntos! O enunciado é:
Estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método dos coeficientes constantes, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, vamos formar a equação característica. Isso é feito substituindo cada derivada por $ r $ elevado ao poder correspondente. Assim, a nossa EDO se transforma em:
Essa é a nossa equação característica que precisamos resolver para encontrar os valores de $ r $.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Percebe que essa equação pode ser fatorada. Observando, podemos tentar dividir polinomialmente ou notar que $ r = 1 $ é uma raiz evidente:
Então, $ r = 1 $ é uma raiz. Podemos fatorar a equação como:
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda parte da fatoração:
Essa é uma equação quadrática que pode ser resolvida usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos $ r = 1 $ com multiplicidade três, já que $ r = 1 $ se repete três vezes.
Passo 5
Com as raízes encontradas, $ r = 1 $ tripla, podemos escrever a solução geral da EDO. Quando temos raízes repetidas, a solução inclui termos multiplicados por $ x $ para cada multiplicidade. Assim, a solução geral é:
Aqui, $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes que seriam determinadas por condições iniciais, se fossem fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: