Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 x^{3}-6 x+1}{6 x^{3}+2}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{5x^{3} - 6x + 1}{6x^{3} + 2}.
Este é um limite de quociente de polinômios em que numerador e denominador têm mesmo grau (grau 3). Para resolver, vamos usar a técnica de dividir todos os termos pelo maior grau, que é x^{3}.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por x^{3}:
\frac{5x^{3} - 6x + 1}{6x^{3} + 2} = \frac{\frac{5x^{3}}{x^{3}} \;-\;\frac{6x}{x^{3}} \;+\;\frac{1}{x^{3}}} {\frac{6x^{3}}{x^{3}} \;+\;\frac{2}{x^{3}}} = \frac{5 \;-\;\frac{6}{x^{2}} \;+\;\frac{1}{x^{3}}}{6 \;+\;\frac{2}{x^{3}}}.

Passo 3

Agora tomamos o limite quando x\to -\infty. Note que
\frac{6}{x^{2}}\to 0,\quad \frac{1}{x^{3}}\to 0,\quad \frac{2}{x^{3}}\to 0.
Portanto, o quociente passa a valer
\frac{5 - 0 + 0}{6 + 0} = \frac{5}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{6}

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