Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5 x^{3}-6 x+1}{6 x^{3}+2}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^{3}-6x+1}{6x^{3}+2}.
O conteúdo envolvido é limites de funções racionais no infinito, onde os graus do numerador e do denominador são iguais.

Passo 2

Para evidenciar o comportamento dos termos de menor ordem, dividimos numerador e denominador por x^{3}:
\frac{5x^{3}-6x+1}{6x^{3}+2} = \frac{\frac{5x^{3}}{x^{3}} - \frac{6x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}} {\frac{6x^{3}}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}} = \frac{5 - \tfrac{6}{x^{2}} + \tfrac{1}{x^{3}}}{6 + \tfrac{2}{x^{3}}}.

Passo 3

Ao fazermos x\to+\infty, as parcelas \tfrac{6}{x^{2}}, \tfrac{1}{x^{3}} e \tfrac{2}{x^{3}} tendem a zero. Portanto,
\frac{5 - \tfrac{6}{x^{2}} + \tfrac{1}{x^{3}}}{6 + \tfrac{2}{x^{3}}} \;\longrightarrow\; \frac{5 - 0 + 0}{6 + 0} = \frac{5}{6}.

Passo 4

Concluímos que
\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^{3}-6x+1}{6x^{3}+2} = \frac{5}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{6}

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