Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(3 x^{3}+2 x+1\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \bigl(3x^3 + 2x + 1\bigr).
Aqui o conteúdo é limite de polinômio no infinito, e vamos usar a ideia de que o termo de maior grau domina o comportamento da função quando \lvert x\rvert cresce muito.

Passo 2

Fatoramos x^3 para ver a contribuição de cada termo à medida que x\to -\infty:
3x^3 + 2x + 1 = x^3\Bigl(3 + \frac{2x}{x^3} + \frac{1}{x^3}\Bigr) = x^3\Bigl(3 + \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}\Bigr).

Passo 3

Escrevemos o limite usando essa fatoração:
\lim_{x\to -\infty}\bigl(3x^3 + 2x + 1\bigr) = \lim_{x\to -\infty} x^3\Bigl(3 + \tfrac{2}{x^2} + \tfrac{1}{x^3}\Bigr).

Passo 4

Analisamos cada parte:
  • Quando x\to -\infty, temos \displaystyle x^3\to -\infty porque um número muito grande negativo ao cubo continua negativo e cresce em módulo.
  • As frações \tfrac{2}{x^2} e \tfrac{1}{x^3} tendem a 0. Logo,
3 + \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3} \;\longrightarrow\; 3.

Passo 5

Portanto o produto comporta-se como
x^3 \;\times\; 3 \quad\text{quando}\quad x\to -\infty,
isto é, algo que vai para -\infty.

Resposta

\displaystyle -\infty

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