Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{4}-2 x+1}{x^{3}+2 x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{4}-2x+1}{x^{3}+2x^{2}+1}.
O conteúdo é limite de função racional no infinito. Vamos usar comparação de graus e divisão pelo maior expoente de x.

Passo 2

O grau do numerador é 4 e o do denominador é 3. Como 4>3, o quociente tende a crescer sem bound superior. Para ver direitinho, dividimos numerador e denominador por x^3.

Passo 3

\frac{x^{4}-2x+1}{x^{3}+2x^{2}+1} =\frac{\frac{x^{4}}{x^{3}}-\frac{2x}{x^{3}}+\frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}+\frac{2x^{2}}{x^{3}}+\frac{1}{x^{3}}} =\frac{x - 2/x^{2} + 1/x^{3}}{1 + 2/x + 1/x^{3}}.

Passo 4

Quando x\to+\infty temos
\;x\to+\infty,\;2/x^{2}\to0,\;1/x^{3}\to0,\;2/x\to0.
Logo o quociente se aproxima de \frac{x}{1}, que cresce sem parar.

Passo 5

Portanto
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{4}-2x+1}{x^{3}+2x^{2}+1}=+\infty.

Resposta

+\infty

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