Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x}+1}{x+3}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x}+1}{x+3},
que é um caso de limites no infinito envolvendo funções polinomiais e radicais. Vamos precisar comparar as taxas de crescimento de \sqrt{x} e x.

Passo 2

Para expor a dominância das potências, fatoramos \sqrt{x} no numerador e x no denominador:
\frac{\sqrt{x}+1}{x+3} = \frac{\sqrt{x}\,\bigl(1 + \tfrac{1}{\sqrt{x}}\bigr)}{x\,\bigl(1 + \tfrac{3}{x}\bigr)}.

Passo 3

Observamos que
\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}},
logo a expressão fica
\frac{\sqrt{x}+1}{x+3} = \frac{1}{\sqrt{x}}\;\cdot\;\frac{1 + \tfrac{1}{\sqrt{x}}}{1 + \tfrac{3}{x}}.

Passo 4

Agora aplicamos o limite em cada fator:
\lim_{x\to+\infty}1/\sqrt{x}=0,
\lim_{x\to+\infty}1/\sqrt{x}=0 e
\lim_{x\to+\infty}3/x=0.
Logo,
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x}+1}{x+3} = 0\;\cdot\;\frac{1+0}{1+0} = 0.

Resposta

0

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