Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{7}{9 \sqrt[3]{x}}

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais são os dados.
  • O enunciado pede calcular o limite quando x tende a +\infty da função
\frac{7}{9\sqrt[3]{x}}.
  • Informação dada: numerador constante igual a 7; denominador igual a 9 vezes \sqrt[3]{x} (a raiz cúbica de x).

Passo 2

Entender o comportamento de \sqrt[3]{x} quando x\to+\infty.
  • A função x\mapsto\sqrt[3]{x}=x^{1/3} é crescente para x>0 e quando x aumenta sem limite, a sua raiz cúbica também aumenta sem limite.
  • Em termos de limite isso se escreve: \lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{x}=+\infty.
    Intuição: se x fica muito grande, a raiz cúbica também fica muito grande (por exemplo, x=10^6 \sqrt[3]{x}=100).

Passo 3

Concluir o efeito no denominador e na fração.
  • Como \sqrt[3]{x}\to+\infty, então 9\sqrt[3]{x}\to+\infty (multiplicar por 9 só escala sem impedir que vá ao infinito).
  • Temos uma constante no numerador ( 7) dividida por um termo que tende a +\infty. Sempre que uma constante positiva é dividida por uma quantidade que cresce sem limite, o quociente tende a 0.
  • Portanto, por essa razão qualitativa, o limite da expressão deve ser 0.

Passo 4

Transformação por substituição para ver de forma direta.
  • Faço a substituição t=\sqrt[3]{x}. Quando x\to+\infty temos t\to+\infty.
  • A expressão passa a ser
\frac{7}{9t}.
  • Então o problema reduz-se a calcular \lim_{t\to+\infty}\dfrac{7}{9t}. Como t cresce sem limite no denominador, \dfrac{7}{9t}\to 0.

Passo 5

Prova rigorosa no estilo epsilon (para treinar e garantir total precisão).
  • Queremos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe X>0 tal que, para todo x>X,
\left|\frac{7}{9\sqrt[3]{x}}-0\right|<\varepsilon.
  • Tomemos
X=\left(\frac{7}{9\varepsilon}\right)^3.
  • Se x>X, então \sqrt[3]{x}>\dfrac{7}{9\varepsilon}. Daí
\frac{7}{9\sqrt[3]{x}}<\frac{7}{9}\cdot\frac{9\varepsilon}{7}=\varepsilon.
  • Isso prova formalmente que \lim_{x\to+\infty}\dfrac{7}{9\sqrt[3]{x}}=0.

Resposta

0

Exercícios relacionados