Calcule os seguintes limites no infinito:
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais são os dados.
- O enunciado pede calcular o limite quando
tende a da função
- Informação dada: numerador constante igual a
; denominador igual a vezes (a raiz cúbica de ).
Passo 2
Entender o comportamento de
quando
.
- A função
é crescente para e quando aumenta sem limite, a sua raiz cúbica também aumenta sem limite. - Em termos de limite isso se escreve:
.
Intuição: sefica muito grande, a raiz cúbica também fica muito grande (por exemplo, dá ).
Passo 3
Concluir o efeito no denominador e na fração.
- Como
, então (multiplicar por só escala sem impedir que vá ao infinito). - Temos uma constante no numerador (
) dividida por um termo que tende a . Sempre que uma constante positiva é dividida por uma quantidade que cresce sem limite, o quociente tende a . - Portanto, por essa razão qualitativa, o limite da expressão deve ser
.
Passo 4
Transformação por substituição para ver de forma direta.
- Faço a substituição
. Quando temos . - A expressão passa a ser
- Então o problema reduz-se a calcular
. Como cresce sem limite no denominador, .
Passo 5
Prova rigorosa no estilo epsilon (para treinar e garantir total precisão).
- Queremos mostrar que para todo
existe tal que, para todo ,
- Tomemos
- Se
, então . Daí
- Isso prova formalmente que
.
Resposta
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