Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-4}{x^{2019}}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{-4}{x^{2019}}.
Informações dadas:
  • O numerador é a constante -4.
  • O denominador é x^{2019}, com expoente positivo e inteiro.
  • A variável x tende para +\infty.
    A pergunta é: qual é o valor desse limite quando x cresce sem bound?

Passo 2

Entender o comportamento de x^{2019} quando x\to+\infty.
Para x\ge 1, elevar x à potência 2019 só aumenta o número, logo
x^{2019}\to +\infty\quad\text{quando}\quad x\to +\infty.
Em palavras: conforme x cresce muito, x^{2019} cresce muito mais (vai para infinito).

Passo 3

Deduzir o comportamento do recíproco \dfrac{1}{x^{2019}}.
Se x^{2019}\to+\infty, então seu recíproco tende a 0. Vou justificar de forma elementar usando uma desigualdade simples: para x\ge 1 vale
x^{2019}\ge x \quad\Rightarrow\quad 0<\frac{1}{x^{2019}}\le\frac{1}{x}.
Como já sabemos que
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0,
pelo princípio do confronto (squeeze theorem), segue que
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{2019}}=0.

Passo 4

Explicar a propriedade de limites que vou usar a seguir.
A regra é: se \lim_{x\to a} f(x)=L e c é constante, então
\lim_{x\to a} c\cdot f(x)=c\cdot L.
Aqui c=-4 e f(x)=\dfrac{1}{x^{2019}}, cujo limite acabamos de ver ser 0.

Passo 5

Aplicar a propriedade com c=-4.
Como \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^{2019}}=0, temos
\lim_{x\to+\infty}\frac{-4}{x^{2019}}=-4\cdot\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{2019}}=-4\cdot 0=0.

Passo 6

Observação sobre o sinal (útil para entender o comportamento): para x>0 o denominador é positivo e o numerador é -4, então a função \dfrac{-4}{x^{2019}} é negativa e se aproxima de 0 vindo de valores negativos. Mesmo assim, o limite numérico é 0.

Resposta

0

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