Calcule os seguintes limites no infinito:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o limite
Informações dadas:
- O numerador é a constante
. - O denominador é
, com expoente positivo e inteiro. - A variável
tende para .
A pergunta é: qual é o valor desse limite quandocresce sem bound?
Passo 2
Entender o comportamento de
quando
.
Para , elevar
à potência
só aumenta o número, logo
Para
Em palavras: conforme
cresce muito,
cresce muito mais (vai para infinito).
Passo 3
Deduzir o comportamento do recíproco
.
Se , então seu recíproco tende a
. Vou justificar de forma elementar usando uma desigualdade simples: para
vale
Se
Como já sabemos que
pelo princípio do confronto (squeeze theorem), segue que
Passo 4
Explicar a propriedade de limites que vou usar a seguir.
A regra é: se e
é constante, então
A regra é: se
Aqui
e
, cujo limite acabamos de ver ser
.
Passo 5
Aplicar a propriedade com
.
Como , temos
Como
Passo 6
Observação sobre o sinal (útil para entender o comportamento): para
o denominador é positivo e o numerador é
, então a função
é negativa e se aproxima de
vindo de valores negativos. Mesmo assim, o limite numérico é
.
Resposta
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