Chama-se função racional toda função do tipo
, onde
e
são funções polinomiais e
. Calcule os limites de cada função racional a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações fornecidas (extraídas do enunciado):
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - O grau (maior expoente) de ambos os polinômios é
. - Os coeficientes dominantes (dos termos de maior grau) são
no numerador e no denominador.
A pergunta é: qual é o valor do limite quandotende para ?
Passo 2
Estratégia e motivo (aulas rápidas):
- Para funções racionais do tipo
com e polinômios, o comportamento quando é dominado pelos termos de maior grau em e . - Regra prática:
- Se
então . - Se
então é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (coeficiente líder de sobre coeficiente líder de ). - Se
então o limite é ou dependendo dos sinais (não zero finito).
- Se
- Por que isso funciona (ideia): dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente (aqui ) faz aparecer termos com que tendem a zero quando , deixando apenas os coeficientes líderes.
Passo 3
Aplicando a técnica: dividir numerador e denominador por
.
Passo 4
Analisando os termos que restaram:
- Para qualquer inteiro
vale . Intuição: conforme cresce muito, fica quase zero e potências maiores de fazem ficar ainda mais próximo de zero. - Assim, quando
os termos , , , vão todos para ; e o mesmo ocorre no denominador com os termos que têm , , etc.
Logo, tomando limite em cima da expressão do Passo 3,
Passo 5
Interpretação final e dica para a prova:
- Como os graus dos dois polinômios são iguais (ambos
), o limite é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos : . - Dica rápida para você lembrar: sempre compare os graus; se são iguais, pegue os coeficientes líderes; se o numerador tem grau menor, dá
; se maior, dá infinito (ou menos infinito conforme sinais). - Exemplos extras para fixar:
-
. -
porque .
-