Chama-se função racional toda função do tipo \frac{f(x)}{g(x)}, onde f(x) e g(x) são funções polinomiais e g(x) \neq 0. Calcule os limites de cada função racional a seguir:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5 x^{4}-10 x^{3}+2019 x^{2}-x+12}{9 x^{4}+2020 x^{3}-7 x^{2}+3 x+4}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{5x^{4}-10x^{3}+2019x^{2}-x+12}{9x^{4}+2020x^{3}-7x^{2}+3x+4}.
Informações fornecidas (extraídas do enunciado):
  • O numerador é o polinômio \,5x^{4}-10x^{3}+2019x^{2}-x+12.
  • O denominador é o polinômio \,9x^{4}+2020x^{3}-7x^{2}+3x+4.
  • O grau (maior expoente) de ambos os polinômios é 4.
  • Os coeficientes dominantes (dos termos de maior grau) são 5 no numerador e 9 no denominador.
    A pergunta é: qual é o valor do limite quando x tende para \infty?

Passo 2

Estratégia e motivo (aulas rápidas):
  • Para funções racionais do tipo \dfrac{f(x)}{g(x)} com f e g polinômios, o comportamento quando x\to\infty é dominado pelos termos de maior grau em f e g.
  • Regra prática:
    • Se \deg(f) < \deg(g) então \displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0.
    • Se \deg(f) = \deg(g) então \displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)} é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (coeficiente líder de f sobre coeficiente líder de g).
    • Se \deg(f) > \deg(g) então o limite é \infty ou -\infty dependendo dos sinais (não zero finito).
  • Por que isso funciona (ideia): dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente (aqui x^{4}) faz aparecer termos com \dfrac{1}{x},\dfrac{1}{x^{2}},\dots que tendem a zero quando x\to\infty, deixando apenas os coeficientes líderes.

Passo 3

Aplicando a técnica: dividir numerador e denominador por x^{4}.
\frac{5x^{4}-10x^{3}+2019x^{2}-x+12}{9x^{4}+2020x^{3}-7x^{2}+3x+4} = \frac{5-10\frac{1}{x}+2019\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}+12\frac{1}{x^{4}}} {9+2020\frac{1}{x}-7\frac{1}{x^{2}}+3\frac{1}{x^{3}}+4\frac{1}{x^{4}}}.

Passo 4

Analisando os termos que restaram:
  • Para qualquer inteiro k\geq1 vale \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{k}}=0. Intuição: conforme x cresce muito, 1/x fica quase zero e potências maiores de x fazem ficar ainda mais próximo de zero.
  • Assim, quando x\to\infty os termos -10\frac{1}{x}, 2019\frac{1}{x^{2}}, -\frac{1}{x^{3}}, 12\frac{1}{x^{4}} vão todos para 0; e o mesmo ocorre no denominador com os termos que têm \frac{1}{x}, \frac{1}{x^{2}}, etc.
    Logo, tomando limite em cima da expressão do Passo 3,
\lim_{x\to\infty}\frac{5-10\frac{1}{x}+2019\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}+12\frac{1}{x^{4}}} {9+2020\frac{1}{x}-7\frac{1}{x^{2}}+3\frac{1}{x^{3}}+4\frac{1}{x^{4}}} = \frac{5-0+0-0+0}{9+0-0+0+0}=\frac{5}{9}.

Passo 5

Interpretação final e dica para a prova:
  • Como os graus dos dois polinômios são iguais (ambos 4), o limite é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos x^{4}: \dfrac{5}{9}.
  • Dica rápida para você lembrar: sempre compare os graus; se são iguais, pegue os coeficientes líderes; se o numerador tem grau menor, dá 0; se maior, dá infinito (ou menos infinito conforme sinais).
  • Exemplos extras para fixar:
    • \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}+1}{6x^{2}-4}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.
    • \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^{2}+1}=0 porque 1<2.

Resposta

\dfrac{5}{9}

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