Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to +\infty} \frac{5}{x}.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{5}{x}.
  • O limite é tomado quando x tende para +\infty (ou seja, x cresce sem limite para valores positivos).

Passo 2

Primeira ideia intuitiva (sem formalismo): quando x fica muito grande, o número \dfrac{1}{x} fica muito pequeno (por exemplo, \dfrac{1}{10}=0,1, \dfrac{1}{100}=0,01, \dfrac{1}{1000}=0,001 etc.). Multiplicando por 5 apenas escala esses valores por 5, então esperamos que \dfrac{5}{x} tenda a 0 quando x\to+\infty. Em linguagem curta: a recíproca de x vai a zero, logo 5 vezes a recíproca também vai a zero.

Passo 3

Agora um argumento mais formal e direto usando desigualdades (fácil de aplicar em prova): para x>0 vale
0 < \frac{5}{x}.
Dado \varepsilon>0 (qualquer tolerância desejada), escolha
M=\frac{5}{\varepsilon}.
Se x>M então x>\dfrac{5}{\varepsilon} e, portanto,
\frac{5}{x} < \frac{5}{M} = \varepsilon.
Como \left|\dfrac{5}{x}-0\right|=\dfrac{5}{x}<\varepsilon para todo x>M, isso mostra, pelo critério \varepsilon- M para limites no infinito, que
\lim_{x\to +\infty} \frac{5}{x}=0.

Passo 4

Observação prática e generalização: essa mesma ideia vale para qualquer constante a: \lim_{x\to+\infty}\dfrac{a}{x}=0. Outra forma rápida (útil em prova) é notar que o grau do polinômio no denominador (aqui 1 por x) é maior ou igual ao do numerador (grau 0, constante), logo a fração tende a zero quando o denominador cresce sem limite.

Resposta

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