Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{-\sqrt{\pi}}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado fornece a expressão e pede o limite quando x tende para -\infty:
\lim_{x\to-\infty}\frac{-\sqrt{\pi}}{x^{3}}.
Informações relevantes dadas:
  • O numerador é a constante -\sqrt{\pi}.
  • O denominador é x^{3}.
  • A variável x tende para -\infty.
    A tarefa é calcular o valor do limite.

Passo 2

Reescrevo a expressão de uma forma que facilita ver o comportamento:
\frac{-\sqrt{\pi}}{x^{3}} = -\sqrt{\pi}\cdot\frac{1}{x^{3}}.
Aqui -\sqrt{\pi} é uma constante (um número fixo) e \dfrac{1}{x^{3}} é a parte que depende de x. É útil separar assim porque existe uma propriedade de limites que diz que uma constante pode ser tirada para fora do limite.

Passo 3

Vou estudar o comportamento de \dfrac{1}{x^{3}} quando x\to-\infty.
  • Quando x\to-\infty, o valor de |x| cresce sem limite (fica muito grande).
  • Então |x|^{3} também cresce sem limite, isto é |x|^{3}\to\infty.
  • Daí a razão \left|\dfrac{1}{x^{3}}\right|=\dfrac{1}{|x|^{3}} tende a 0, porque o inverso de um número que cresce para infinito tende a zero.
Formalmente, para x com |x|>1 vale
0\le \left|\frac{1}{x^{3}}\right|=\frac{1}{|x|^{3}}\le\frac{1}{|x|^{2}},
e como \dfrac{1}{|x|^{2}}\to 0 quando |x|\to\infty, pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue que \dfrac{1}{x^{3}}\to 0 quando x\to-\infty.
Também é intuitivo: para x=-10 temos \dfrac{1}{x^{3}}=-\dfrac{1}{1000}, para x=-100 -10^{-6}, etc.; esses valores tendem para 0.

Passo 4

Usando a propriedade de limites que permite fatorar constantes:
\lim_{x\to-\infty}\left(-\sqrt{\pi}\cdot\frac{1}{x^{3}}\right) = -\sqrt{\pi}\cdot\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x^{3}}.
Do Passo 3 já temos \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x^{3}}=0. Portanto
-\sqrt{\pi}\cdot\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x^{3}} = -\sqrt{\pi}\cdot 0 = 0.

Passo 5

Observação sobre o sinal: para x muito negativo, x^{3} também é negativo, então \dfrac{1}{x^{3}} é negativo e -\sqrt{\pi}\cdot\dfrac{1}{x^{3}} é positivo — isto é, os valores da expressão são pequenos e positivos quando x é grande em magnitude e negativo. Mesmo assim, o valor tende para 0. Isso confirma que o limite é 0 (sem sinal).

Resposta

0

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