Justifique porque o limite
não existe.
Passo 1
O enunciado pede para justificar por que o limite
não existe.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
- A função considerada é
, definida para . - O limite é pela direita em
, ou seja (valores de positivos que se aproximam de ). - É preciso provar que não existe um número
tal que tenda a quando .
Passo 2
Vou explicar uma ferramenta simples e eficaz para mostrar que um limite não existe: o critério sequencial (também chamado de critério de Heine). Ele diz o seguinte, em linguagem direta:
- Se
existe, então para qualquer sequência com e deve valer . - Portanto, uma maneira prática de provar que o limite não existe é encontrar duas sequências positivas
e tais que e tenham limites diferentes. Então não pode haver um único que seja limite por .
Passo 3
Vou construir duas sequências explícitas que tendem a
pela direita e que fazem
assumir, respectivamente, os valores
e
para todos os termos (ou tendendo a esses valores).
Definir
e
Passo 4
Verifico que ambas as sequências são positivas e tendem a
:
- Para todo
os denominadores e são positivos e aumentam com . Logo , e, como o denominador vai para , tem-se e .
Agora calculo os valores de
nessas sequências:
- Para
temos . Portanto
- Para
temos . Portanto
Passo 5
Das expressões acima segue que as sucessões de imagens têm limites diferentes:
Passo 6
Aplicando o critério sequencial explicado no Passo 2: se
existisse e fosse igual a algum
, então para qualquer sequência positiva que tende a
as imagens deveriam tender a
. Mas encontramos duas sequências positivas
e
com
,
cujas imagens têm limites distintos (
e
). Isso é uma contradição com a existência de um único
. Logo o limite não existe.
Passo 7
Intuição extra (rápida e amigável): quando
fica muito pequeno,
fica muito grande, e a função seno oscila rapidamente entre
e
. Ao aproximar-se de
pela direita a função não “se acalma” em torno de um único valor — ela passa infinitas vezes por valores próximos de
e de
. É por isso que não existe limite.