Justifique porque o limite \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right) não existe.

Passo 1

O enunciado pede para justificar por que o limite \lim_{x\to 0^{+}} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) não existe.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • A função considerada é f(x)=\sin\!\left(\frac{1}{x}\right), definida para x\neq 0.
  • O limite é pela direita em 0, ou seja x\to 0^{+} (valores de x positivos que se aproximam de 0).
  • É preciso provar que não existe um número L tal que f(x) tenda a L quando x\to 0^{+}.

Passo 2

Vou explicar uma ferramenta simples e eficaz para mostrar que um limite não existe: o critério sequencial (também chamado de critério de Heine). Ele diz o seguinte, em linguagem direta:
  • Se \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=L existe, então para qualquer sequência (x_n) com x_n>0 e x_n\to 0 deve valer f(x_n)\to L.
  • Portanto, uma maneira prática de provar que o limite não existe é encontrar duas sequências positivas x_n\to 0 e y_n\to 0 tais que f(x_n) e f(y_n) tenham limites diferentes. Então não pode haver um único L que seja limite por x\to 0^{+}.

Passo 3

Vou construir duas sequências explícitas que tendem a 0 pela direita e que fazem \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) assumir, respectivamente, os valores 1 e -1 para todos os termos (ou tendendo a esses valores).
Definir
x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n},\qquad n=0,1,2,\dots
e
y_n=\frac{1}{\frac{3\pi}{2}+2\pi n},\qquad n=0,1,2,\dots

Passo 4

Verifico que ambas as sequências são positivas e tendem a 0:
  • Para todo n\ge 0 os denominadores \frac{\pi}{2}+2\pi n e \frac{3\pi}{2}+2\pi n são positivos e aumentam com n. Logo x_n>0, y_n>0 e, como o denominador vai para +\infty, tem-se x_n\to 0 e y_n\to 0.
Agora calculo os valores de f nessas sequências:
  • Para x_n temos \dfrac{1}{x_n}=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n. Portanto
\sin\!\left(\frac{1}{x_n}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)=1\quad\text{para todo }n.
  • Para y_n temos \dfrac{1}{y_n}=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n. Portanto
\sin\!\left(\frac{1}{y_n}\right)=\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right)=-1\quad\text{para todo }n.

Passo 5

Das expressões acima segue que as sucessões de imagens têm limites diferentes:
\lim_{n\to\infty}\sin\!\left(\frac{1}{x_n}\right)=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to\infty}\sin\!\left(\frac{1}{y_n}\right)=-1.

Passo 6

Aplicando o critério sequencial explicado no Passo 2: se \lim_{x\to 0^{+}} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) existisse e fosse igual a algum L, então para qualquer sequência positiva que tende a 0 as imagens deveriam tender a L. Mas encontramos duas sequências positivas x_n e y_n com x_n\to 0, y_n\to 0 cujas imagens têm limites distintos ( 1 e -1). Isso é uma contradição com a existência de um único L. Logo o limite não existe.

Passo 7

Intuição extra (rápida e amigável): quando x fica muito pequeno, \frac{1}{x} fica muito grande, e a função seno oscila rapidamente entre -1 e 1. Ao aproximar-se de 0 pela direita a função não “se acalma” em torno de um único valor — ela passa infinitas vezes por valores próximos de 1 e de -1. É por isso que não existe limite.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) não existe.

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