Calcule os seguintes limites:
j) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{2 x^{2}-7}}{x+3}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{2x^2-7}}{x+3}.
O conteúdo aqui é limite no infinito com indeterminação do tipo \infty/\infty. Vamos usar fatoração de x^2 dentro da raiz e a propriedade de valor absoluto.

Passo 2

Dentro da raiz, fatoramos x^2:
\sqrt{2x^2-7} =\sqrt{x^2}\,\sqrt{2-\frac{7}{x^2}} =|x|\sqrt{2-\frac{7}{x^2}}.
Como x\to -\infty, temos |x|=-x.

Passo 3

Substituindo em cima e simplificando:
\frac{\sqrt{2x^2-7}}{x+3} =\frac{-x\sqrt{2-\frac{7}{x^2}}}{x\bigl(1+\frac{3}{x}\bigr)} =-\frac{\sqrt{2-\frac{7}{x^2}}}{1+\frac{3}{x}}.

Passo 4

Quando x\to -\infty, \tfrac{7}{x^2}\to0 e \tfrac{3}{x}\to0. Logo,
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{2x^2-7}}{x+3} =-\frac{\sqrt{2-0}}{1+0} =-\sqrt{2}.

Resposta

-\sqrt{2}

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