Calcule os seguintes limites:
f) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}.
O conteúdo aqui é limite de função envolvendo raiz quadrada e comportamento em infinito. Vamos usar a técnica de fatorar x dentro da raiz e lembrar que \sqrt{x^2}=|x|.

Passo 2

Escrevemos
\sqrt{x^2+1} = |x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}.
Como x\to -\infty, temos x<0 e, portanto, |x|=-x. Logo
\sqrt{x^2+1} = -\,x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}.

Passo 3

Substituindo na fração e fatorando x no denominador, obtemos
\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1} = \frac{-\,x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)} = \frac{-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1+\frac{1}{x}}.

Passo 4

Agora usamos que, quando x\to -\infty, temos \frac{1}{x}\to 0 e \frac{1}{x^2}\to 0. Assim,
\lim_{x\to -\infty}\frac{-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1+\frac{1}{x}} = \frac{-\sqrt{1+0}}{1+0} = -1.

Resposta

-1

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