Determine a Transformada de Fourier da seguinte função.
f(x) = x^3 e^(-a x) U(x) = { x^3 e^(-a x), se x ≥ 0; 0, se x < 0 }
onde a > 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Fourier da função dada:
Aqui, . Para isso, vamos usar os conceitos de Transformada de Fourier e algumas propriedades de funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela transforma uma função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio das frequências. A fórmula geral é:
No nosso caso, como f(x) é zero para , a integral fica de 0 a infinito:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos combinar os expoentes:
Então, a Transformada de Fourier fica:

Passo 4

Para resolver essa integral, precisamos lembrar que a integral de de 0 a infinito é conhecida e dada por:
Aqui, e . Então, aplicando essa fórmula:

Passo 5

Calculando o fatorial e simplificando:
Portanto:

Resposta

A Transformada de Fourier da função dada é:

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