Determine a Transformada de Fourier da seguinte função.
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Fourier da função dada:
Aqui,
. Para isso, vamos usar os conceitos de Transformada de Fourier e algumas propriedades de funções exponenciais e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela transforma uma função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio das frequências. A fórmula geral é:
No nosso caso, como
é zero para
, a integral fica de 0 a
:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos combinar os expoentes:
Então, a Transformada de Fourier fica:
Passo 4
Para resolver essa integral, precisamos lembrar que a integral de
de 0 a
é conhecida e dada por:
Aqui,
e
. Então, aplicando essa fórmula:
Passo 5
Calculando o fatorial e simplificando:
Portanto:
Resposta
A Transformada de Fourier da função dada é: