Calcule os seguintes limites. Lembre-se que o limite trigonométrico fundamental nos diz que
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1 .
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{7 x}{6 \operatorname{sen}(x)}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{7x}{6\operatorname{sen}(x)}.
  • O enunciado lembra o limite trigonométrico fundamental:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
  • Informação útil a lembrar (regras de limite): constantes podem ser fatoradas para fora do limite e, se \lim_{x\to a} f(x)=L com L\neq 0, então \lim_{x\to a} \frac{1}{f(x)}=\frac{1}{L}.

Passo 2

Esclarecer a estratégia (sem resolver ainda).
  • Vou usar álgebra de limites: fatorar constantes e reescrever a expressão de forma a usar o limite fundamental \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
  • Em particular, transformar \dfrac{7x}{6\operatorname{sen}(x)} numa forma envolvendo \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x} ou o seu recíproco.

Passo 3

Reescrever a expressão de forma conveniente.
  • Factorizando a constante \dfrac{7}{6}:
\frac{7x}{6\operatorname{sen}(x)}=\frac{7}{6}\cdot\frac{x}{\operatorname{sen}(x)}.
  • Agora escrevo \dfrac{x}{\operatorname{sen}(x)} como o recíproco de \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}:
\frac{x}{\operatorname{sen}(x)}=\frac{1}{\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}}.

Passo 4

Aplicar o limite fundamental e regras de limite.
  • Pelo limite fundamental temos
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
  • Como o limite da função \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x} é 1, que é diferente de zero, o limite do recíproco é o recíproco do limite. Ou seja,
\lim_{x\to 0}\frac{x}{\operatorname{sen}(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}}=\frac{1}{1}=1.
(Essa afirmação vem da propriedade: se \lim f(x)=L\neq0 então \lim 1/f(x)=1/L.)

Passo 5

Calcular o limite final usando fatoração de constantes.
  • Usando que \lim_{x\to 0}\dfrac{x}{\operatorname{sen}(x)}=1 e que se c é constante então \lim c\cdot g(x)=c\cdot\lim g(x), obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{7x}{6\operatorname{sen}(x)}=\frac{7}{6}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{x}{\operatorname{sen}(x)}=\frac{7}{6}\cdot 1.

Resposta

\dfrac{7}{6}

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