Encontre a solução do PVI dado.
(2 x-y)+(2 y-x) \frac{d y}{d x}=0, y(1)=3;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
(2x-y) + (2y-x)\frac{dy}{dx}=0, \qquad y(1)=3.
O que se pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial fornecida. Informações relevantes dadas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação é de primeira ordem e envolve x, y e \dfrac{dy}{dx}.
  • A condição inicial fixa o valor de y em x=1: y(1)=3.

Passo 2

Reescrever a equação na forma padrão
M(x,y) + N(x,y)\frac{dy}{dx}=0,
identificando
M(x,y)=2x-y,\qquad N(x,y)=2y-x.
Explicação didática: muitas equações de primeira ordem dessa forma são “exatas”, o que significa que existe uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y).
Se isso acontecer, a solução geral pode ser escrita implicitamente como F(x,y)=C, onde C é constante.

Passo 3

Testar se a equação é exata: calcular as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x-y)=-1,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2y-x)=-1.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}, a equação é exata. Isso garante que existe F(x,y) com as propriedades acima, pelo menos localmente.

Passo 4

Encontrar a função potencial F(x,y) integrando M em relação a x:
F(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int(2x-y)\,dx = x^2 - x y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y (explicação: ao integrar parcialmente em x, termos que dependem só de y aparecem como constantes).

Passo 5

Determinar h(y) impondo \dfrac{\partial F}{\partial y}=N(x,y). Primeiro calcule
\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^2 - x y + h(y)\big) = -x + h'(y).
Igualando a N(x,y)=2y-x obtemos
-x + h'(y)=2y-x \quad\Rightarrow\quad h'(y)=2y.
Integrando h'(y):
h(y)=\int 2y\,dy = y^2 + C_0,
onde C_0 é constante. Podemos incorporar C_0 na constante geral da solução implícita.

Passo 6

Construir F(x,y) completo:
F(x,y)=x^2 - x y + y^2.
A solução implícita geral é
x^2 - x y + y^2 = C,
com C constante. Agora usamos a condição inicial y(1)=3 para achar C:
1^2 - 1\cdot 3 + 3^2 = 1 - 3 + 9 = 7.
Logo C=7 e a solução implícita particular é
x^2 - x y + y^2 = 7.

Passo 7

Se quisermos a solução explícita y=y(x), tratamos a implicita como uma equação quadrática em y:
y^2 - x y + (x^2-7)=0.
Aplicando a fórmula quadrática para y:
y=\frac{x\pm\sqrt{x^2-4(x^2-7)}}{2} =\frac{x\pm\sqrt{-3x^2+28}}{2} =\frac{x\pm\sqrt{28-3x^2}}{2}.
Explicação: ao resolver uma quadrática ay^2+by+c=0 usamos y=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}; aqui a=1, b=-x, c=x^2-7.

Passo 8

Escolher o ramo certo com base na condição inicial. Em x=1 temos dentro da raiz \sqrt{28-3\cdot1^2}=\sqrt{25}=5. As duas possibilidades dão
y(1)=\frac{1+5}{2}=3 \qquad\text{ou}\qquad y(1)=\frac{1-5}{2}=-2.
Como a condição inicial exige y(1)=3, deve-se escolher o sinal +. Assim a solução explícita que satisfaz o PVI é
y(x)=\frac{x+\sqrt{28-3x^2}}{2}.
Domínio: a raiz exige 28-3x^2\ge 0, ou seja
|x|\le\sqrt{\tfrac{28}{3}}.
A solução encontrada é válida (pelo menos) no intervalo de x que contém x=1 e onde a expressão sob a raiz é não negativa.

Resposta

y(x)=\frac{x+\sqrt{28-3x^2}}{2},\qquad |x|\le\sqrt{\tfrac{28}{3}}.

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