Encontre a solução do PVI dado.
;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
O que se pede: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial fornecida. Informações relevantes dadas:
- A incógnita é a função
. - A equação é de primeira ordem e envolve
, e . - A condição inicial fixa o valor de
em : .
Passo 2
Reescrever a equação na forma padrão
identificando
Explicação didática: muitas equações de primeira ordem dessa forma são “exatas”, o que significa que existe uma função potencial
tal que
Se isso acontecer, a solução geral pode ser escrita implicitamente como
, onde
é constante.
Passo 3
Testar se a equação é exata: calcular as derivadas parciais
Como
, a equação é exata. Isso garante que existe
com as propriedades acima, pelo menos localmente.
Passo 4
Encontrar a função potencial
integrando
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(explicação: ao integrar parcialmente em
, termos que dependem só de
aparecem como constantes).
Passo 5
Determinar
impondo
. Primeiro calcule
Igualando a
obtemos
Integrando
:
onde
é constante. Podemos incorporar
na constante geral da solução implícita.
Passo 6
Construir
completo:
A solução implícita geral é
com
constante. Agora usamos a condição inicial
para achar
:
Logo
e a solução implícita particular é
Passo 7
Se quisermos a solução explícita
, tratamos a implicita como uma equação quadrática em
:
Aplicando a fórmula quadrática para
:
Explicação: ao resolver uma quadrática
usamos
; aqui
,
,
.
Passo 8
Escolher o ramo certo com base na condição inicial. Em
temos dentro da raiz
. As duas possibilidades dão
Como a condição inicial exige
, deve-se escolher o sinal
. Assim a solução explícita que satisfaz o PVI é
Domínio: a raiz exige
, ou seja
A solução encontrada é válida (pelo menos) no intervalo de
que contém
e onde a expressão sob a raiz é não negativa.