Questão 3. Determine o valor de b para que a equação seja exata e depois resolva usando esse valor de b.
a) \left(x y^{2}+b x^{2} y\right)+(x+y) x^{2} \frac{d y}{d x}=0;
b) \left(y e^{2 x y}+x\right)-b x e^{2 x y} \frac{d y}{d x}=0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Existem duas equações separadas, e para cada uma a tarefa é: (i) determinar o valor de b para que a equação seja exata; (ii) resolver a equação usando esse valor de b.
a) A equação dada é
\left(x y^{2}+b x^{2} y\right)+(x+y) x^{2} \frac{d y}{d x}=0.
Aqui podemos identificar os coeficientes da forma M(x,y)+N(x,y)\dfrac{dy}{dx}=0:
M(x,y)=x y^{2}+b x^{2} y,\qquad N(x,y)=(x+y)x^{2}=x^{3}+x^{2}y.
b) A equação dada é
\left(y e^{2 x y}+x\right)-b x e^{2 x y} \frac{d y}{d x}=0.
Identificando os coeficientes:
M(x,y)=y e^{2 x y}+x,\qquad N(x,y)=-b x e^{2 x y}.
O enunciado pede, para cada caso, primeiro o valor de b que torna a equação exata e depois a solução da equação com esse b.

Passo 2

Breve lembrete (didático) do que significa “equação exata” e como testar: uma equação dada por
M(x,y)+N(x,y)\frac{dy}{dx}=0
pode ser escrita como forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
Ela é exata se existir uma função potencial \Phi(x,y) tal que \partial \Phi/\partial x = M e \partial \Phi/\partial y = N. Uma condição prática e necessária (e suficiente em domínios apropriados) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Para testar exatidão, calcule essas derivadas parciais e iguale-as; isso permitirá determinar b.
Aplicando isso ao item (a):
Calcule \dfrac{\partial M}{\partial y} e \dfrac{\partial N}{\partial x}.
Temos
M(x,y)=x y^{2}+b x^{2} y \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial M}{\partial y}=2xy + b x^{2},
e
N(x,y)=x^{3}+x^{2}y \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial N}{\partial x}=3x^{2}+2xy.
Impondo a condição de exatidão \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}:
2xy + b x^{2} = 3x^{2}+2xy.
Cancelando 2xy dos dois lados obtém-se
b x^{2}=3x^{2}.
Para todos x (exceto possivelmente x=0, mas queremos validade geral), isso implica
b=3.
Portanto, no item (a) temos b=3.

Passo 3

Agora resolvemos a equação do item (a) com b=3. A equação passa a ser
\left(x y^{2}+3 x^{2} y\right)+x^{2}(x+y)\frac{dy}{dx}=0,
ou seja, na forma diferencial
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
com
M(x,y)=x y^{2}+3 x^{2} y,\qquad N(x,y)=x^{3}+x^{2}y.
Como a equação é exata, existe \Phi(x,y) tal que \partial \Phi/\partial x=M e \partial \Phi/\partial y=N. Vamos achar \Phi.
Integramos M em relação a x, tratando y como constante (explico cada passo):
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int \big(x y^{2}+3 x^{2} y\big)\,dx.
Separe os termos e integre termo a termo:
  • \displaystyle \int x y^{2}\,dx = y^{2}\int x\,dx = y^{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}. Aqui y é constante durante a integração em x.
  • \displaystyle \int 3x^{2}y\,dx = 3y\int x^{2}\,dx = 3y\cdot\frac{x^{3}}{3}=x^{3}y.
Somando e acrescentando uma função arbitrária de y, h(y), pois a derivada em x de h(y) é zero:
\Phi(x,y)=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+x^{3}y+h(y).
Agora imponha \partial \Phi/\partial y = N(x,y). Calcule:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=x^{2}y + x^{3} + h'(y).
Compare com N(x,y)=x^{3}+x^{2}y. Igualando,
x^{2}y+x^{3}+h'(y)=x^{3}+x^{2}y \quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Logo h(y) é constante, h(y)=C.
A solução implícita geral é \Phi(x,y)=\text{const}, isto é
\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+x^{3}y=C.
Opcionalmente multiplicando por 2 para limpar o meio:
x^{2}y^{2}+2x^{3}y=C'.

Passo 4

Agora aplicamos o teste de exatidão ao item (b). Relembro a equação:
\left(y e^{2 x y}+x\right)-b x e^{2 x y} \frac{d y}{d x}=0.
Identificamos
M(x,y)=y e^{2xy}+x,\qquad N(x,y)=-b x e^{2xy}.
Calcule \dfrac{\partial M}{\partial y} e \dfrac{\partial N}{\partial x} cuidadosamente.
Primeiro,
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(y e^{2xy}+x\big).
A derivada de x em relação a y é zero. Para y e^{2xy} use regra do produto:
\frac{\partial}{\partial y}\big(y e^{2xy}\big)=e^{2xy} + y\cdot e^{2xy}\cdot(2x)=e^{2xy}\big(1+2xy\big).
Portanto
\frac{\partial M}{\partial y}=e^{2xy}\big(1+2xy\big).
Agora
N(x,y)=-b x e^{2xy}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial N}{\partial x}=-b\frac{\partial}{\partial x}\big(x e^{2xy}\big).
Para \dfrac{\partial}{\partial x}\big(x e^{2xy}\big) use produto:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x e^{2xy}\big)=e^{2xy} + x\cdot e^{2xy}\cdot(2y)=e^{2xy}\big(1+2xy\big).
Logo
\frac{\partial N}{\partial x}=-b\,e^{2xy}\big(1+2xy\big).
Impondo exatidão \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}:
e^{2xy}\big(1+2xy\big) = -b\,e^{2xy}\big(1+2xy\big).
Se queremos igualdade como funções em uma região (para todos x,y onde a equação faz sentido), devemos ter
1 = -b \quad\Rightarrow\quad b=-1.
(É verdade que quando 1+2xy=0 ou e^{2xy}=0 a igualdade é trivial em pontos isolados, mas para que a igualdade de funções valha globalmente precisamos de b=-1.)
Portanto, no item (b) temos b=-1.

Passo 5

Resolver a equação do item (b) com b=-1. Substituindo obtemos
\left(y e^{2 x y}+x\right)-(-1)x e^{2 x y}\frac{dy}{dx}=0,
isto é
\left(y e^{2 x y}+x\right)+ x e^{2 x y}\frac{dy}{dx}=0.
Na forma diferencial:
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
com
M(x,y)=y e^{2xy}+x,\qquad N(x,y)=x e^{2xy}.
Como já testamos, a equação é exata para b=-1. Procure \Phi tal que \partial \Phi/\partial x=M.
Integre M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int \big(y e^{2xy}+x\big)\,dx.
Separe:
  • Para \displaystyle \int y e^{2xy}\,dx: fator y é constante; faça a substituição u=2xy\Rightarrow du=2y\,dx\Rightarrow dx=\dfrac{du}{2y}. Assim
\int y e^{2xy}\,dx = y\int e^{u}\frac{du}{2y}=\frac{1}{2}\int e^{u}\,du=\frac{1}{2}e^{u}=\frac{1}{2}e^{2xy}.
(Um modo mais direto: a derivada em x de e^{2xy} é 2x e^{2xy}y' — não confundir — mas aqui usamos a substituição simples como mostrado.)
  • Para \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
Somando e acrescentando h(y):
\Phi(x,y)=\frac{1}{2}e^{2xy}+\frac{1}{2}x^{2}+h(y).
Agora imponha \partial \Phi/\partial y = N(x,y). Calcule:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{1}{2}\cdot e^{2xy}\cdot(2x)+h'(y)=x e^{2xy}+h'(y).
Compare com N(x,y)=x e^{2xy}. Logo h'(y)=0 e h(y)= constante.
A solução implícita é \Phi(x,y)= const:
\frac{1}{2}e^{2xy}+\frac{1}{2}x^{2}=C.
Multiplicando por 2 para simplificar:
e^{2xy}+x^{2}=C'.

Resposta

a) b=3. Solução: \displaystyle \frac{1}{2}x^{2}y^{2}+x^{3}y=C.
b) b=-1. Solução: \displaystyle \frac{1}{2}e^{2xy}+\frac{1}{2}x^{2}=C.

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