Questão 3. Determine o valor de
para que a equação seja exata e depois resolva usando esse valor de
.
a)
;
b)
.
a)
b)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Existem duas equações separadas, e para cada uma a tarefa é: (i) determinar o valor de
para que a equação seja exata; (ii) resolver a equação usando esse valor de
.
a) A equação dada é
Aqui podemos identificar os coeficientes da forma
:
b) A equação dada é
Identificando os coeficientes:
O enunciado pede, para cada caso, primeiro o valor de
que torna a equação exata e depois a solução da equação com esse
.
Passo 2
Breve lembrete (didático) do que significa “equação exata” e como testar: uma equação dada por
pode ser escrita como forma diferencial
Ela é exata se existir uma função potencial
tal que
e
. Uma condição prática e necessária (e suficiente em domínios apropriados) é
Para testar exatidão, calcule essas derivadas parciais e iguale-as; isso permitirá determinar
.
Aplicando isso ao item (a):
Calcule
e
.
Temos
e
Impondo a condição de exatidão
:
Cancelando
dos dois lados obtém-se
Para todos
(exceto possivelmente
, mas queremos validade geral), isso implica
Portanto, no item (a) temos
.
Passo 3
Agora resolvemos a equação do item (a) com
. A equação passa a ser
ou seja, na forma diferencial
com
Como a equação é exata, existe
tal que
e
. Vamos achar
.
Integramos
em relação a
, tratando
como constante (explico cada passo):
Separe os termos e integre termo a termo:
-
Aqui é constante durante a integração em . -
Somando e acrescentando uma função arbitrária de
,
, pois a derivada em
de
é zero:
Agora imponha
. Calcule:
Compare com
. Igualando,
Logo
é constante,
.
A solução implícita geral é
, isto é
Opcionalmente multiplicando por
para limpar o meio:
Passo 4
Agora aplicamos o teste de exatidão ao item (b). Relembro a equação:
Identificamos
Calcule
e
cuidadosamente.
Primeiro,
A derivada de
em relação a
é zero. Para
use regra do produto:
Portanto
Agora
Para
use produto:
Logo
Impondo exatidão
:
Se queremos igualdade como funções em uma região (para todos
onde a equação faz sentido), devemos ter
(É verdade que quando
ou
a igualdade é trivial em pontos isolados, mas para que a igualdade de funções valha globalmente precisamos de
.)
Portanto, no item (b) temos
.
Passo 5
Resolver a equação do item (b) com
. Substituindo obtemos
isto é
Na forma diferencial:
com
Como já testamos, a equação é exata para
. Procure
tal que
.
Integre
em relação a
, tratando
como constante:
Separe:
- Para
: fator é constante; faça a substituição . Assim
(Um modo mais direto: a derivada em
de
é
— não confundir — mas aqui usamos a substituição simples como mostrado.)
- Para
Somando e acrescentando
:
Agora imponha
. Calcule:
Compare com
. Logo
e
constante.
A solução implícita é
const:
Multiplicando por
para simplificar:
Resposta
a)
. Solução:
b)
. Solução: